論質點運動學中的微積分思想

摘要:大學物理的教學中，質點運動學是以高等數學為工具研究變速運動，而中學物理是以實驗為基礎研究勻變速運動，在教學實踐中發現由于教科書的簡明，學生在認識上有一定的混淆。采用兩個典型的例題陳前啟后地讓學生建立起用微積分思想考慮物理問題。此方法也可適用于其他類似內容的教學。

關鍵詞：變速運動瞬時速度求導積分分離變量轉換變量

質點運動學有兩類基本問題，一是由質點的運動方程可以求得質點在任一時刻的位矢、速度和加速度；二是已知質點的加速度以及初始速度和初始位置，可求質點速度及其運動方程。

對第一類基本問題，以求瞬時速度為例來分析。在工科大學物理的教科書中用平均速度的極限值定義瞬時速度。用 表示:

為使學生能更深入透徹的了解上式，以學生在高中學習中熟悉的初速為0的一維自由落體運動為例來深入分析。因為:

現在來求從第t秒末到t+△t秒末的時間間隔內物體的平均速度：

(3)式表明從第t秒末開始取不同的時間間隔△t所得到的平均速度是不相同的，如果要比較精確的描述t秒這一時刻質點的速度，則顯然△t取得越小越好，如果取△t為無限小，即△t→0的極限情況，這時平均速度變為：

(3)、(4)式即為牛頓的流數術，其清楚地表明質點在第t秒末的一個無限小時間間隔內的平均速度，即為第t秒的瞬時速度。平均速度是描述一段時間內質點運動變化的快慢程度，瞬時速度則是描述某一時刻質點運動變化的快慢程度，對運動的描述由時間過渡到時刻，顯然精確程度大大提高。

萊布尼茨于1684年發表第一篇微分論文，定義了微分概念，采用了微分符號dx，dy。則(4)式可直接利用微分進行計算：

5)式得到的結論和(4)式完全相同，但在計算上更簡潔明了。同時注意式中的 是指t時刻的位置矢量，而不是描述一段時間內位置變化的位移矢量△ 。

歷史上人們公認牛頓和萊布尼茨是各自獨立地創建微積分的。牛頓從物理學出發，運用集合方法研究微積分，其應用上更多地結合了運動學，造詣高于萊布尼茨。萊布尼茨則從幾何問題出發，運用分析學方法引進微積分概念、得出運算法則，其數學的嚴密性與系統性是牛頓所不及的。由(4)式和(5)式的對比，我們可以更深刻地認識到這一點。

萊布尼茨認識到好的數學符號能節省思維勞動，運用符號的技巧是數學成功的關鍵之一。因此，他所創設的微積分符號遠遠優于牛頓的符號，這對微積分的發展有極大影響。

質點運動學的第兩類基本問題是：已知質點的加速度以及初始速度和初始位置，可求質點速度及其運動方程 .對此問題以學生高中熟悉的勻變速運動作為例題:

例：己知勻加速直線運動加速度a為常數，初始條件為t=0時： ( 為常數)

求：(1)v (t);(2)x(t);(3)v(x)

（1）解:由加速度定義： 分離變量可得: 兩邊積分時要注意積分下限由初始條件決定:積分后可推出 (6)

深入討論，如果a不為常數，例如 則 此式可直觀地說明(6)式只適用于a等于常數的情況，即勻變速運動，對于變速運動，根據a(t)的規律不同，則v(t)的形式也不同。

進一步深入討論，初始條件不一定特指t=0時的情況，可以選取任意時刻的情況做為初始條件，只需注意積分下限的對應關系，即則:

(2) 解：由瞬時速度定義:分離變量可得:兩邊積分時要注意積分下限由初始條件決定:

此式中v是關于t的變量，必須統一積分變量，寫作積分后可推出 （7)

(7)式同樣只適用于a等于常數的情況，即勻變速運動，對于變速運動，根據v(t)的規律不同，則x(t)的形式也不同。

(3)解：由a的定義：由上式直觀地看到利用分子、分母同乘dx實現了轉換變量的目的，再分離變量積分 積分后可推出：

(8)

(8)式同樣只適用于a等于常數的情況，即勻變速運動，

對于變速運動，根據a(x)或a(v)的規律不同，則v(x)的形式也

不同。

(6)、(7)、(8)式是學生在高中物理學習中熟悉的公式，在大學物理課程中利用積分的方法進行證明后，第一：讓學生認識到可以以不同的方法解決同一問題，得到相同的結論。第二：明確高中所學的勻變速運動只是變速運動的一種特例，(6)、(7)、(8)式只適用于加速度為常數的情況，對于加速度是變量的變速運動則根據函數關系的不同，積分后有千變萬化的形式。

在教學實踐中應用上述方法后，大多數學生掌握了如何利用微積分思想求解運動學問題，并且為今后教學中要討論的變力或變力矩作功；電荷連續分布的帶電體產生的電場強度、電勢；載流導體產生的磁感強度等需要應用微積分思想解決的問題打下了認識的基礎，達到了觸類旁通的效果。通過這種教學方法，不僅使學生學到了相關的物理知識，而且也學到了一些有價值的思維方法，這對提高學生的能力、素質是有幫助作用的。

參考文獻：

〔1〕馬文蔚．物理學（第五版）．北京：高等教育出版社，2006

〔2〕程守洙、江之永．普通物理學（第五版）．北京；高等教育出版社，1998