合理設置情境,讓學生經歷數學概念的形成過程

摘要：進入21世紀以來，由于計算機科學、心理學及數學自身的迅猛發展，引發了世界范圍內的數學課程改革。那么，怎樣使新課程標準的理念在日常教學中得以具體體現呢？這里給我們廣大的教師提供了很大的作為的空間。

關鍵詞：情境；學生；數學

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：Ａ 文章編號：１６７３－２９１Ｘ（２０11）20－０242－02

我國從2000年開始組織人員在進行各項調查、研究及廣泛征求社會各界意見的基礎上編寫出全國或地方范圍內適用的課程標準。這些新的課程標準的共同點在于：新的課程體系不僅要讓學生掌握基本的數學知識和技能，更要求教師努力創設一些情景、設計一些活動讓學生經歷數學知識發生發展的過程，提供學生親身體驗的機會。例如：

《普通高中數學課程標準（實驗稿） 》[1]中指出：“數學課程要講邏輯推理，更要講道理，通過典型例子的分析和學生的自主探索活動，使學生理解數學概念、結論逐步形成的過程，體會蘊涵在其中的思想方法，追尋數學發展的歷史足跡，把數學的學術形態轉化為學生易于接受的教育形態。”

《上海市中小學數學課程標準（試行稿）》[2]：“數學課程不僅應重視教學的內容和要求，更應充分關注課程中的學習過程，創設有利于學生、教師發揮主體性和創造性的條件。要遵循認知心理發展的規律，合理組織教學內容；要用知識的發生、發展、形成和應用的過程，加強數學學習的活動，提供學生親身感受、體驗的機會。”

下面以最近教學的《數學期望》這一內容為例來說明。與其他絕大多數的概率統計的概念一樣，數學期望也是在現實生活的基礎上抽象出來的數學概念，但是較之于平均數、方差、（古典）概率等概念，它的抽象過程要復雜得多，因此也難懂得多。如果沒有充分認識到這一點，那么，對于數學期望這一概念的教學，教師一般會依照教材先介紹數學期望的定義及其計算公式，然后通過一些例子練習數學期望的應用，名為應用，實際上就是套套公式，學生很快就學會了，教師和學生都已覺索然無味，一節課的時間卻還沒用掉。如此，應付考試足矣。可是，對于數學期望究竟是怎么回事，學生最終還是一片茫然。根據新的課程標準，這種不管知識的來龍去脈，只把學生當成機器強行填塞的做法實在欠妥。

經過再三斟酌，我們這樣來上“數學期望”這節課：

師： 同學們，大家已經知道現實生活中有許多可能發生也可能不發生的隨機事件，隨機事件發生的可能性的大小可用什么數學語言來描述呢？

生：概率。

師：對！而且在理論上，常在古典概型條件下計算概率；在經驗上，常用頻率（經驗概率）作為概率的近似值，即大數定律。請完整地敘述一下大數定律。

生：頻率在大數次重復試驗中穩定于某一常數（概率）。

師：剛才提到古典概型，古典概型的特點是什么？

生：（1）基本事件全集只包含有限個基本事件；（2）每個基本事件的出現具有相等的可能性。

師：大家知道，概率統計是一門應用性很強的數學分支。上周末我去莫干山旅游，途中一個擺地攤的人引起了我的興趣。他用20枚簽（其中，10枚標有5分分值，10枚標有10分分值）設局，讓游客從中抽出10枚，以10枚簽的分值總和為獎、罰依據。具體獎罰金額見表1[3]：

如果是你，你愿意參加這個游戲嗎？

生甲：我當然愿意。分值總共有11種，中大獎的分值有2種，輸錢的分值不過3種。似乎中獎的機會還是蠻大的！而且就算輸錢的話， 也就輸1元，可是贏的話卻能贏10元或100元。

生眾：沒那么簡單吧，那個攤主肯定是為了賺錢而不是賠錢……

師：對！那他是怎樣賺到錢的呢？同學們能不能幫他算一算？譬如說，游客中獎的機會到底有多大？是不是剛才生甲所說的2/11？

生：應該不是。因為出現上面每個分值的可能性不一定相同。這與古典概型要求每個基本事件的出現具有相等的可能性不符。

師：對！下面請大家用正確的方法計算上述四個隨機事件的概率。為了提高效率，大家分組完成。第1、2、3、4組分別計算獎100元、獎10元、不獎不罰、罰1元的概率是多少。

給學生一定的時間計算、研究。

第四組學生代表上來演示：

當抽到6個5分簽，4個10分簽時得70分；當抽到5個5分簽，5個10分簽時得75分；當抽到4個5分簽，6個10分簽時得80分，抽到這些結果分別有C×C，C×C，×C種。從20枚簽中抽取10枚的取法共有C＝184756種。所以輸1元錢的概率是：

＝≈0.82110

師：很好，你說得太好了。下面請其他組的同學展示計算結果。

……

師：下面我把四個小組的研究的情況進行一番剪拼，我們會看到一個有趣的結果：

當抽到10個5分簽，0個10分簽時得50分；

當抽到9個5分簽，1個10分簽時得55分；

當抽到8個5分簽，2個10分簽時得60分；

當抽到7個5分簽，3個10分簽時得65分；

當抽到6個5分簽，4個10分簽時得70分；

當抽到5個5分簽，5個10分簽時得75分；

當抽到4個5分簽，6個10分簽時得80分，

當抽到3個5分簽，7個10分簽時得85分；

當抽到2個5分簽，8個10分簽時得90分；

當抽到1個5分簽，9個10分簽時得95分；

當抽到0個5分簽，10個10分簽時得100分。

你們能看出其中的規律嗎？

生：5分簽的個數從0至10依次增大，同時10分簽的個數從10至0依次減小。

師：對。由此可以看到，如果我們按照抽到的10分簽（或5分簽）的個數（0個至10個）進行分類，就可以有條不紊地列出所有的情況。由此可見分類討論的好處。同時，把所有的情況一一列出的方法叫做窮舉法，大家不要忘記這也是一種重要的數學方法。

下面我們對計算結果進行匯總、分析。我們用X來表示獎罰金額。“X=n”表示贏得n元這一隨機事件，在這個問題中n可取-1，0，10，100四個值，n取不同值時“X=n”的概率是不同的。把同學們的計算結果用表2匯總就是：

請同學們解釋一下表格中的數據說明了什么問題？

生：通過表格中的數據，我們可以了解到要想得大獎的希望實在是太渺茫了，而輸錢的可能性卻很高。

師：是啊，當時我就站在地攤旁邊，不動聲色地算了半天，然后對攤主說了上面這番話。可是攤主卻說：“被罰錢的概率是很大，但是罰額很低啊！贏得大獎的概率小，但是獎額很高啊！兩者互相扯平，剛剛好！”被攤主這么一說，我就糊涂了。我覺得他說得很有道理，但是又覺得他不可能不賺錢。那他到底能賺多少錢呢？同學們能不能計算一下？

學生一片茫然。討論了一陣子，有人說：

我覺得把上表每列的數據分別相乘然后加起來就是每人能從游戲中掙到的錢。

師：這個結果是多少？

生：還沒算……哦，是-0.81元。

師：“-0.81元”的含義是什么？是說每個人都要輸給攤主0.81元嗎？可是要輸的話總是輸1元，怎么會是0.81元呢？

生：哦，大概是平均每人輸給攤主0.81元吧。

師：為什么把上表每列的數據分別相乘然后加起來就是平均每人輸給攤主的錢？

生：這個……只是感覺，我也說不清為什么。

師：你剛才提到平均值，那我們就來計算一下平均值吧。假設有m個人參加游戲，那么就應該有82.11%的人贏-1元錢，17.78%的人贏0元錢，0.10825%的人贏10元錢，0.0010825%的人贏100元錢，那么平均每個人贏的錢應該如何計算？

生：

X＝

＝-0.81（元）

師：他的感覺是對的！原來這樣計算出來的真的是平均值！剛才的算式的值顯然與m的值無關，那么，是不是說無論幾個人去參加游戲，總是平均每人輸給攤主0.81元？實踐是檢驗真理的唯一標準，我這里準備好了游戲中所需的材料，下面請10個同學上來抽一下簽，然后我們來計算一下平均值。

學生抽簽、計算。

師：實際的結果是0.1元，與-0.81元嚴重不符。這是怎么回事？

生：我認為是算式與人數有關。因為在算式中用到了概率的值，根據大數定律，只有在大數次的重復實驗中，頻率才會穩定于概率。所以在實際的游戲中，參加的人數越多，平均每人輸給攤主的錢就應該越接近0.81元。

師：你說得太好了！由于概率是一個理論值，所以-0.81也是理論值，是我們根據大數定律期望能得到的理論上的平均值，數學上稱之為數學期望。數學家正是根據現實生活中許許多多類似于剛才這樣的例子，抽象概括出了數學期望的這一數學概念。請大家根據剛才的例子，嘗試自己給數學期望下一個定義。

得出數學期望的定義之后，利用課本上的例題和練習熟悉一下數學期望的計算公式，特別要強調學生對運算結果的實際意義的正確理解。

作業：利用今天所學的數學知識為某商家的某產品設計有獎促銷方案，并討論它的可行性。

通過課堂現場感知和事后課堂錄像的分析，可以肯定我們對“數學期望”的教學設計是成功的，是受到學生普遍歡迎的。我們認為，這樣的教學最大的成功之處在于合理設置了情景（攤主設局，到底如何賺錢），隨著情景的不斷展開，一個個問題（你愿意參加這個游戲嗎；游客賺錢的機會到底是多大；獎罰是扯平的嗎；攤主到底能賺多少錢；為何現場抽獎結果與事先計算結果不符；等等）自然產生，有效地激發了學生的好奇心和探索欲望，在問題解決的不斷驅動下，讓學生親身經歷了數學概念的形成過程，并進行應用（解數學期望應用題及利用數學期望設計有獎促銷方案），從而獲得了對數學期望這一數學概念的深刻理解，并有利于學生正確的數學觀的形成（例如，數學與現實世界是緊密聯系的，數學概念是從現實世界中抽象出來并有著廣泛應用的；探索數學是有趣的；等等）。

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗稿）[EB/OL]. http：//www.pep.com.cn/200406/ca473620.htm.

[2] 上海市教育委員會.上海市中小學數學課程標準（試行稿》[M].上海：上海教育出版社，2004.

[3] 上海市工業與應用數學學會、上海市數學會. 競爭與風險決策的數學模型.內部資料.