區間上二次函數最值的解法
2011-12-31 00:00:00薛潤斌
中學教學參考·理科版 2011年8期
二次函數在某區間上的最值問題，其核心是分析頂點與給定區間的位置關系，本文將介紹四類基本模式.
一、 頂點、區間都確定
【例1】已知函數f(x)=x2+2xtanθ-1，x∈
［-1，3］，其中θ∈(-π2，π2)，當θ=-π6時，求函數f(x)的最大值與最小值.
解：當θ=-π6時，
f(x)=x2-233x-1=(x-33)2-43，x∈［-1，3］
，
其對稱軸為x=33∈［-1，3］，所以
f(x)max=f(-1)=233，f(x)min=f(33）=-43.
二、 頂點變動，區間固定
若所給區間是確定的，但其頂點是變動的，則可以分下列幾種情況討論：頂點橫坐標在給定區間內變化；頂點橫坐標在給定區間外變化.
【例2】已知函數f(x)=-x2+2ax+(1+a)
在區間［0，1］上有最大值2，求實數a的值.
解法1：根據頂點橫坐標在區間內，或在區間外進行討論.
（1）當a≥1時，f(x)在［0，1］上是增函數，所以
f(x)max=f(1)=a，由已知得a=2；
（2）當0＜a＜1時，
f(x)=-(x-a)2+a2-a+1在x=a處有最大值a2-a+1，由已知得
a2-a+1=2，
解得a=1±52∈/(0，1)，故舍去；
（3）當a≤0時，f(x)在［0，1］上是減函數，
所以f(x)max=f(0)=1-a，
由已知得1-a=2，所以a=-1.
綜上，a=2或a=-1.
解法2：因為二次函數最大值可能在拋物線的頂點或區間的端點處，所以函數
f(x)=-(x-a)2+a2-a+1
的最大值只能在x1=0，x2=1或x0=a處取得.
（1）令f(0)=2，得a=-1，此時x0=-1，f(x)在［0，1］上是減函數，所以a=-1時取得最大值2；
（2）令f(1)=2，得a=2，此時x0=2，f(x)在［0，1］上是增函數，所以a=2時取得最大值2；
（3）令f(a)=2，得a=1±52，要f(x)使x=a在處取得最大值，必須a∈［0，1］，經檢驗，
a=1±52都不適合.綜上a=2或a=-1.
三、 頂點固定，區間變動
若所給區間是變化的，而對稱軸位置是確定的，此時應討論區間中的參數：變動區間包含對稱軸橫坐標；變動區間中不包含對稱軸橫坐標.
四、 頂點、區間都變動
若所給區間變動，且頂點也變動，則必須對它們的制約關系（即含參量）進行討論：對稱軸坐標在所給區間內；對稱軸橫坐標不在所給區間內.
(責任編輯金鈴）
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