斜面滑塊模型支持力與摩擦力的分析

一、摩擦角與全反力

圖1

如圖1，物塊m與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，令u=tanφ，這個(gè)φ角就稱為摩擦角。認(rèn)為最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力相等，那么地面對(duì)物體的支持力N與摩擦力f的合力F與接觸面法線的夾角α≤φ。當(dāng)物塊不能滑動(dòng)α≤φ時(shí)，當(dāng)物塊發(fā)生滑動(dòng)α=φ時(shí)，無(wú)論何種情況下α都不會(huì)超過(guò)φ。物塊對(duì)地面的壓力與摩擦力的合力F′與F等大反向，叫做力F的全反力。

二、斜面靜止而滑塊滑動(dòng)

斜面和滑塊都保持靜止的情況較為簡(jiǎn)單，無(wú)論滑塊有無(wú)受到外界作用的推力，只要根據(jù)平衡條件采用整體法、隔離法，結(jié)合正交分解法就可以解決。

圖2

如圖2，接觸面均粗糙，現(xiàn)討論滑塊m以一定的初速度沿傾角為θ的斜面體M向下滑動(dòng)而斜面體保持靜止的各種情況。無(wú)論m是否受到外界的推力，只要兩者之間有擠壓，m對(duì)M都會(huì)有沿斜面法線向下的壓力和沿斜面切線向下的滑動(dòng)摩擦力，這兩個(gè)力的合力就是全反力F′。F′的方向有圖2中①②③三種可能，圖2中虛線為斜面的法線。因?yàn)樾泵骟wM受到的重力、地面的支持力都沿豎直方向，所以通過(guò)F′的水平分量就能根據(jù)平衡條件判斷出地面對(duì)靜止斜面體的摩擦力方向。若全反力F′豎直向下，則地面對(duì)M的摩擦力為0，如圖2-①所示，此時(shí)φ＝θ。若F′斜向左下，則地面對(duì)Μ的摩擦力水平向右，如圖2-②所示，此時(shí)φ＜θ。若F′斜向右下，則地面對(duì)Μ的摩擦力水平向左，如圖2-③所示，此時(shí)φ＞θ。只要兩者之間有擠壓，以上結(jié)論與m所受外界推力的有無(wú)、大小、方向均無(wú)關(guān)。

如圖2，滑塊m向下滑動(dòng)時(shí)，a、b、c、d、e、f對(duì)應(yīng)的外界推力六種不同的方向會(huì)影響斜面對(duì)滑塊的支持力大小。設(shè)外界推力為F0，當(dāng)F0沿平行于斜面的方向時(shí)，斜面對(duì)滑塊的支持力大小為mgcosθ，如a、d；當(dāng)F0沿c、f方向時(shí)，斜面對(duì)滑塊的支持力小于mgcosθ；當(dāng)F0沿b、e方向時(shí)，斜面對(duì)滑塊的支持力大于mgcosθ。斜面對(duì)滑塊相應(yīng)的滑動(dòng)摩擦力大小也跟著變化。所以，滑塊m向下滑動(dòng)時(shí)外界推力F0的大小和方向不影響全反力F′的方向，但影響全反力F′的大小，進(jìn)而影響地面對(duì)靜止的斜面體M的支持力和靜摩擦力的大小。

圖3

【例1】 一個(gè)滑塊m恰能沿靜止的斜面體M勻速下滑，若沿圖3所示方向用力F0推滑塊，使滑塊減速下滑。在滑塊減速下滑的過(guò)程中，斜面體受地面的摩擦力 （填“向左”、“向右” 或“為0”），與原來(lái)相比較，地面對(duì)靜止斜面體的支持力 。（填“變大”或“變小” ）

解析：因?yàn)樵瓉?lái)滑塊m恰能沿著靜止的斜面體M勻速下滑，所以滑塊對(duì)斜面體的全反力F′豎直向下，與是否有F0的作用無(wú)關(guān)，屬于圖2-①情形，此時(shí)φ=θ，則后來(lái)斜面體受地面的摩擦力仍為0。推力F0屬于圖2-b情形，斜面對(duì)滑塊的支持力變大、滑動(dòng)摩擦力變大。因此斜面體受到的全反力增大，故地面對(duì)斜面體的支持力變大。

答案：為0；變大。

圖4

【例2】 傾角可調(diào)節(jié)的斜面上放置一滑塊，當(dāng)傾角為37°時(shí)滑塊恰處于靜止?fàn)顟B(tài)，現(xiàn)減小斜面傾角至θ＝３０°后將斜面固定，如圖4所示。后來(lái)在滑塊上作用一個(gè)圖示推力F0后，滑塊向下加速，但斜面體仍靜止，則滑塊運(yùn)動(dòng)過(guò)程中斜面體受地面的摩擦力 。（填“向左”、“向右” 或“為0”）

解析：因?yàn)樵瓉?lái)滑塊恰好靜止，所以滑塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝tan37°，即φ=37°＞θ。所以后來(lái)滑塊對(duì)斜面體的全反力F′的方向與圖2-③情形相同，斜面體受地面的摩擦力水平向左。

答案：向左。 

圖5

【例3】 如圖5， 斜劈A靜止放置在水平地面上。物體在外力F1和F2的共同作用下沿斜劈表面向下運(yùn)動(dòng)。當(dāng)方向水平向左，F(xiàn)2方向沿斜劈的表面向下時(shí)斜劈受到地面的摩擦力方向向右。下列說(shuō)法中正確的是（）。

A.若同時(shí)撤去F1和F2，物體B的加速度方向一定沿斜面向下

B.若只撤去F1，在物體B仍向下運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，A所受地面摩擦力可能向左

C.若只撤去F2，在物體B仍向下運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，A所受地面摩擦力可能向左

D.若只撤去F2，在物體B仍向下運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，A所受地面摩擦力不變

解析：因?yàn)楫?dāng)F1方向水平向左，F(xiàn)2方向沿斜劈的表面向下時(shí)斜劈受到地面的摩擦力方向向右，所以下滑時(shí)滑塊對(duì)斜面體的全反力F′的方向與圖2-②情形相同，此時(shí)φ＜θ。所以A項(xiàng)正確，B、C都是錯(cuò)誤的。D項(xiàng)只撤F2去，A、B間彈力不變，則下滑時(shí)B所受滑動(dòng)摩擦力也不變，所以滑塊對(duì)斜面體的全反力F′的大小和方向都不變，故斜劈A所受地面摩擦力不變，D項(xiàng)正確。

答案：AD。

圖6

當(dāng)滑塊m沿靜止的粗糙斜面體M向上滑行時(shí)，全反力F′的方向如圖6所示，圖中虛線為斜面法線，所以只要m與M之間有擠壓，這種情況下斜面體M受到的地面的摩擦力方向一定水平向右，與是否受到外界推力及外界推力的大小和方向均無(wú)關(guān)。

三、斜面和滑塊以相同初速度運(yùn)動(dòng)

圖7

如圖7所示，傾角為θ的斜面體Μ與水平地面間動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，與滑塊m間動(dòng)摩擦因數(shù)為μ′。設(shè)斜面對(duì)滑塊的支持力為N，地面對(duì)斜面體的支持力為N地。滑塊m與斜面體M以相同初速度v0運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)討論m能否在M上滑動(dòng)及其條件。

1.整體以初速度v0水平向左運(yùn)動(dòng)

圖8

假設(shè)不能發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，則整體加速度a=μg，方向水平向右。如圖8建立坐標(biāo)系，作出受力圖并將a分解，得到a1=μgcosθ，a2=μgsinθ。對(duì)m有：

mgsinθ+f=ma1，N-mgcosθ=ma2

，解得f=mg(μcosθ-sinθ)，N=mg(cosθ+μsinθ)。

(1)當(dāng)μ=tanθ時(shí)，f=0，N=mg(cosθ+μsinθ)=mgcosθ，m與M之間一定不會(huì)相對(duì)滑動(dòng)，N地=(M+m)g。

(2)當(dāng)μ＜tanθ時(shí)，f＜0，∴f=mg(sinθ-μcosθ)，方向沿斜面向上，令μ0=fN，∴μ0=fN=sinθ-μcosθcosθ+μsinθ=tanθ-μ1+μtanθ

。

①若μ′≥μ0，m與M之間一定不會(huì)相對(duì)滑動(dòng)，此時(shí)N=mg(cosθ+μsinθ)，N地=(M+m)g。

②若μ′＜μ0，m一定相對(duì)M向下滑動(dòng)。此時(shí)m有豎直向下的加速度分量，故m失重，則N地＜(M+m)g。

（3）當(dāng)μ′＜tanθ時(shí)，f＞0，∴f=mg(μcosθ-sinθ)，方向沿斜面向下，令μ0=fN，∴μ0=fN=μcosθ-sinθcosθ+μsinθ=μ-tanθ1+μtanθ

。

①若μ′≥μ0，m與M之間一定不會(huì)相對(duì)滑動(dòng)，此時(shí)N=mg(cosθ+μsinθ)，N地=(M+m)g。

②若μ′＜μ0，m一定相對(duì)M向上滑動(dòng)，此時(shí)m有豎直向上的加速度分量，故m超重，則N地＞(M+m)g。

2.整體以初速度v0水平向右運(yùn)動(dòng)

圖9

如圖9所示，假設(shè)兩者發(fā)生分離，那么分離后m做平拋運(yùn)動(dòng)，M向右做勻減速直線運(yùn)動(dòng)。以M為參考系，m的相對(duì)初速度為0，且m具有水平方向的相對(duì)加速度ax=μg和豎直方向的相對(duì)加速度ay=g。m相對(duì)M的合加速度為a=a2x+a2y=g1+μ2，與水平方向夾角為α，且tanα=ayax=1μ。

先討論兩者是否相互分離的條件：

（1）若α＜θ，即tanα＜tanθ，即μ＞cosθ時(shí)兩者一定分離，如圖9-①情形，m相對(duì)地面做平拋運(yùn)動(dòng)，相對(duì)M做初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。

（2）若α=θ，即tanα=tanθ，即μ=cotθ時(shí)兩者恰能分離，如圖9-②情形。此時(shí)兩者之間無(wú)擠壓，Μ相對(duì)地面向右勻減速，m沿著M的表面相對(duì)地面做平拋運(yùn)動(dòng)，這是一種特殊的運(yùn)動(dòng)形式。

（3）若α＞θ，即tanα＞tanθ，即μ＜cotθ時(shí)兩者一定不會(huì)分離，如圖9-③情形。下面再討論兩者不分離時(shí)是否相對(duì)滑動(dòng)的條件：

兩者不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，整體對(duì)地加速度a′=μg，方向水平向左。如圖10建立坐標(biāo)系，作受力圖并將a′分解，得到a′1=μgcosθ，a′2=μgsinθ。對(duì)m有：

圖10

f-mgsinθ=ma′1，mgcosθ-N=ma′2

，解得：f=mg(sinθ+μcosθ)，N=mg(cosθ-μsinθ)，

令μ0=fN，∴μ0=fN=sinθ+μcosθcosθ-μsinθ=tanθ+μ1-μtanθ

。

①若μ′≥μ0，m與M之間一定不會(huì)相對(duì)滑動(dòng)，此時(shí)N=mg(cosθ-μsinθ)，N地=(M+m)g。

②若μ＜μ0，m一定相對(duì)M向下滑動(dòng)。由m失重可知，N地＜(M+m)g。

【例4】 （2008年海南卷）如圖11所示，水平地面上有一楔形物體b，b的斜面上有一小物塊a；a與b之間、b與地面之間均存在摩擦。已知楔形物體b靜止時(shí)，a靜止在b的斜面上。現(xiàn)給a和b一個(gè)共同的向左的初速度，a與b和都靜止時(shí)相比，此時(shí)可能（）。

圖11

A.a與b之間的壓力減小，且a相對(duì)b向下滑動(dòng)

B.a與b之間的壓力增大，且a相對(duì)b向上滑動(dòng)

C.a與b之間的壓力增大，且a相對(duì)b靜止不動(dòng)

D.b與地面之間的壓力不變，且a相對(duì)b向上滑動(dòng)

解析：利用上述原理，本題屬于第1種情況。原來(lái)必定滿足μ′≥tanθ，但是1-(2)-②中μ′＜μ0=tanθ-μ1+μtanθ＜tanθ

，故應(yīng)該將這種情況剔除。所以只存在a相對(duì)b靜止不動(dòng)和a相對(duì)b向上滑動(dòng)兩種情況，則A錯(cuò)誤。上滑時(shí)，摩擦力沿斜面向下，且m有豎直向上的加速度分量，所以與原來(lái)相比a與b之間的壓力增大，因m超重引起b與地面之間的壓力也增大，則B正確而D錯(cuò)誤。根據(jù)第1種情況的分析，只要a相對(duì)b靜止不動(dòng)就有N＞mgcosθ，則C正確。所以選B、C。

答案：B、C。

(責(zé)任編輯 黃春香）

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