三角形中“四心”的向量式

一、內心的向量式

1．若點O和點P為△ABC所在的平面內一點，并且滿足OP=OA+

λ(AB｜AB｜

+AC｜AC｜)

(其中λ∈［0，+∞))，

則點P的軌跡過△ABC的內心.

2．已知O是△ABC所在平面上的一點，若aOA+bOB+cOC=0

，則O點是△ABC的內心 （其中a，b，c是△ABC的對應邊）. 

二、重心的向量式

1． 若點O和點P為△ABC所在的平面內一點，并且滿足

OP=

OA+λ(

AB+AC）

(其中λ∈［0，+∞))，

則點P的軌跡過△ABC的重心.

2．若點G為△ABC所在的平面內一點，滿足GA+GB+GC＝0

，則點G為△ABC的重心.

3. 若點G為△ABC所在的平面內一點，滿足OG=OA+OB+OC3

，則點G為△ABC的重心.

4.若點O和點P為△ABC所在的平面內一點，并且滿足OP=

OA+λ(AB｜AB｜sinB+AC｜AC｜sinC)(其中λ∈［0，+∞)

，則點P的軌跡過△ABC的重心.

三、垂心的向量式

1. 若點O為△ABC所在的平面內一點，滿足OA#8226;OB=OB#8226;OC=OC#8226;OA

，則點O為△ABC的垂心.

2.若點O為△ABC所在的平面內一點，滿足OA2+BC2=OB2+CA2=OC2+AB2，則點O為 △ABC的垂心.

3．若點O和點P為△ABC所在的平面內一點，并且滿足OP=OA+λ(AB｜AB｜cosB+

AC｜AC｜cosC

)

(其中λ∈［0，+∞)）

，則點P的軌跡過 △ABC的垂心.

四、外心的向量式

1.若點O為 △ABC所在的平面內一點，滿足（OA+OB）#8226;BA＝（OB+OC）#8226;CB＝（OC+OA）#8226;AC

，則點O為 △ABC的外心.（充要條件：｜OA｜＝｜OB｜＝｜OC｜）

2.若點O和點P為△ABC所在的平面內一點，OP＝OA+OB2+λ(AB｜AB｜cosB+AC｜AC｜cosC)(其中λ∈R）

，P的軌跡過△ABC的外心.

五、四心的向量式的高考運用

1．已知G是△ABC所在平面上的一點，若AG+BG+CG=0

， 則點G是△ABC的().

A. 外心B. 內心 C. 重心D. 垂心

2．已知△ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，G為△ABC的重心，且aGA+bGB+cGC=0

， 則△ABC為( ).

A. 等腰直角三角形B. 直角三角形

C. 等腰三角形 D. 等邊三角形

3．若點O為△ABC所在的平面內一點，滿足OA#8226;(

AB｜AB｜

+CB｜CB｜)

＝OB#8226;(BA|BA|+CB|CB|)

＝

OC#8226;(

CB｜CB｜+AC｜AC｜）＝0

，則點O是△ABC的( ).

A. 垂心 B. 重心 C. 內心D. 外心

4．已知O是△ABC所在平面上的一點，若 PO＝aPA+bPB+cPCa+b+c

(其中P是△ABC所在平面內任意一點)，則點O是△ABC的( ).

A. 外心B. 內心C. 重心 D. 垂心

5.已知O是△ABC所在平面上的一點，若(OA+OB)#8226;AB=(OB+OC)#8226;BC=(OC+OA)#8226;OA=0

，則點O是△ABC的( ).

A. 外心B. 內心C. 重心 D. 垂心

6．已知△ABC和點M滿足MA+MB+MC=0

.若存在實數m使得AB+AC=mAM

成立，則m=（）.

A.2B.3C.4D.5

7.已知O、N、P在△ABC所在平面內，且｜OA｜=｜OB｜=｜OC｜

，NA+NB+NC=0，且PA#8226;PB=PB#8226;PC=PC#8226;PA，則點O、N、P依次是△ABC的().

A.重心 外心 垂心B.重心 外心 內心

C.外心 重心 垂心D.外心 重心 內心

以上幾個結論及例子不僅給大家展示了三角形的“四心”的向量表示，而且是向量加減法應用的很好典例.

在向量教學時，與三角形的“四心”有關的向量問題是一類具有相當深度和難度的重要題型，三角形“四心”向量性質及其應用，由于常規視角的轉變，形成了新的探索途徑，要從思想方法上研究新內容的內涵實質，用向量的觀點研究以往教材的知識結構體系，培養學生運用向量解決問題的意識.

(責任編輯金鈴）

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