《均值不等式引入》的教學(xué)與反思

在由教育部、東芝（中國(guó)）有限公司主辦，全國(guó)四十所師范大學(xué)參加的第3屆“東芝杯中國(guó)師范大學(xué)師范專(zhuān)業(yè)理科生教學(xué)技能創(chuàng)新大賽”中，課題組李青以不等臂天平稱(chēng)重問(wèn)題引入均值不等式的教學(xué)，最終獲大賽優(yōu)秀獎(jiǎng).

一、教學(xué)過(guò)程

1. 創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，提出猜想

（問(wèn)題情境）一位同學(xué)在做實(shí)驗(yàn)稱(chēng)量物體質(zhì)量時(shí)拿到一架兩臂長(zhǎng)略有不同的天平.

問(wèn)題一 ：試問(wèn)這架天平能否稱(chēng)出物體實(shí)際質(zhì)量？

問(wèn)題二：該同學(xué)將物體放在天平左、右兩端，分別稱(chēng)得質(zhì)量為50克，30克，由此猜想物體質(zhì)量是m猜=50+302克，這個(gè)猜想對(duì)嗎？為什么？

A學(xué)生：對(duì).因?yàn)閮纱畏Q(chēng)量都有誤差，把結(jié)果求平均以后減小了誤差，所以我認(rèn)為這個(gè)結(jié)果應(yīng)該是正確的.

教師：很好，同學(xué)的判斷有自己的理由，到底對(duì)不對(duì)呢?如果能準(zhǔn)確求出物體質(zhì)量進(jìn)行比較，那么問(wèn)題也就迎刃而解了.

2．探究問(wèn)題本源，發(fā)現(xiàn)真值

教師：同學(xué)們，天平的制作運(yùn)用了物理學(xué)的什么原理？

學(xué)生：杠桿原理.

老師：很好，杠桿原理就是指作用在杠桿兩端力的大小跟力臂成反比，即動(dòng)力×動(dòng)力臂=阻力×阻力臂.

師生共同探討，得出如下的解答：

設(shè)天平左右兩臂長(zhǎng)分別為L(zhǎng)1和L2，根據(jù)杠桿原理及兩次稱(chēng)量結(jié)果，我們可以得出下面的兩個(gè)等式：

m#8226;g#8226;L1=50g#8226;L2，

30g#8226;L1=m#8226;g#8226;L2，

解得m=50×30克.

教師：大家比較一下，剛才那位同學(xué)的猜測(cè)對(duì)嗎？m與m猜哪一個(gè)大？ 

學(xué)生：m大于m猜.

3．歸納比較數(shù)據(jù)，合情推理

教師：現(xiàn)在我們把這個(gè)問(wèn)題一般化，如果兩次稱(chēng)量結(jié)果分別為a克和b克，同學(xué)猜測(cè)的質(zhì)量就為a+b2克，而推導(dǎo)得出真實(shí)質(zhì)量就為ab克.那么a+b2與ab又會(huì)有怎樣的大小關(guān)系呢？我們可以取特殊值代入兩式進(jìn)行初步的判斷.請(qǐng)同學(xué)們完成下表：

aba+b2aba+b2與ab的大小關(guān)系

觀察、歸納出自己的猜想（a+b2與ab有怎樣的大小關(guān)系？）

教師：你得到的a+b2與ab與大小關(guān)系是什么？

學(xué)生1：大于.

學(xué)生2：大于或者等于.

學(xué)生3：大于.

教師：看來(lái)大家的結(jié)果都集中在大于或者大于等于上，請(qǐng)問(wèn)第2個(gè)同學(xué)，等于時(shí)，你取的a、b分別等于多少呢？

學(xué)生2：都等于1. 

教師：大家通過(guò)數(shù)據(jù)比較，歸納出了a+b2≥ab，這個(gè)結(jié)論是通過(guò)用特殊值歸納得出的，它是否對(duì)取a、b所有正實(shí)數(shù)都成立呢？我們不可能舉出所有正實(shí)數(shù)一一驗(yàn)證，因此，還需要進(jìn)行嚴(yán)格的證明.

4．演繹證明命題，返璞歸真

教師引導(dǎo)學(xué)生利用比較法證明a+b2≥ab，并指出它就是要學(xué)習(xí)的均值不等式.

教師：這里大于等于有兩層含義，大于或者等于，等號(hào)什么時(shí)候可以取到？請(qǐng)大家觀察證明過(guò)程.

學(xué)生：當(dāng)a=b時(shí).

教師：很好，當(dāng)a=b時(shí)，取到等號(hào)，那反過(guò)來(lái)，如果取等號(hào)，a、b一定相等嗎？

學(xué)生：相等.

教師：所以，我們就說(shuō)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取到等號(hào).其中，對(duì)于正數(shù)a、b，稱(chēng)a+b2為a、b的算術(shù)平均數(shù)，ab為a、b的幾何平均數(shù). 

5．總結(jié)反思拓展，再探新知

教師：我們運(yùn)用比較法證明了均值不等式，請(qǐng)同學(xué)們思考下面的問(wèn)題：

（1） 根據(jù)下圖，你能給出均值不等式的幾何解釋嗎？

（2）你能否用更多的方法證明均值不等式?

（3）能否將均值不等式推廣到3個(gè)正數(shù)的情形？n個(gè)正數(shù)呢？

（設(shè)計(jì)意圖：采用分層問(wèn)題，使學(xué)生了解均值不等式的幾何解釋?zhuān)w現(xiàn) “數(shù)形結(jié)合”思想，并探究均值不等式的多種證明方法及推廣.）

二、教學(xué)設(shè)計(jì)反思

對(duì)比不同版本的教科書(shū)，關(guān)于均值不等式這一內(nèi)容，都越來(lái)越注重展現(xiàn)知識(shí)的發(fā)生過(guò)程.從現(xiàn)行人教版《數(shù)學(xué)》教材來(lái)看，僅僅從完全平方公式直接推導(dǎo)出均值不等式；而新課標(biāo)人教A版教材從幾何的角度引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不等式；新課標(biāo)人教B版教材直接給出均值不等式及證明；蘇教版教材從學(xué)生實(shí)驗(yàn)出發(fā)，由不等臂天平稱(chēng)量物體質(zhì)量問(wèn)題展開(kāi)，讓學(xué)生經(jīng)歷猜想、歸納、證明等過(guò)程探索均值不等式.從知識(shí)的獲得來(lái)看，學(xué)生都了解了均值不等式及其證明過(guò)程，但是從培養(yǎng)學(xué)生思維能力方面來(lái)看，從幾何角度，或者從實(shí)驗(yàn)情境引入均值不等式更能培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，要倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式.在此案例的教學(xué)中，教師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生自主探索、合作交流讓學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程成為“再創(chuàng)造”的過(guò)程，同時(shí)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)情境，讓學(xué)生感受均值不等式的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)用意識(shí).

當(dāng)然，縱觀整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)，也有一些不盡如人意之處.就創(chuàng)設(shè)的情境來(lái)看，有物理老師指出，由天平的制作決定了左物右砝的稱(chēng)量原則，而在推導(dǎo)真實(shí)質(zhì)量的過(guò)程中，右物左砝的稱(chēng)量過(guò)程，會(huì)不會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生疑問(wèn)？會(huì)不會(huì)有失嚴(yán)謹(jǐn)？這就涉及關(guān)于創(chuàng)設(shè)情境的問(wèn)題.如何創(chuàng)設(shè)適合教學(xué)內(nèi)容的有效的問(wèn)題情境是個(gè)值得思考、探索的問(wèn)題.

【基金項(xiàng)目】本文系全國(guó)教育科學(xué)“十一五”規(guī)劃2010年度單位資助教育部規(guī)劃課題《新課程改革下課堂有效教學(xué)研究》（FFB108036）的部分成果.

(責(zé)任編輯金鈴）