用待定系數法構造輔助數列

求通項公式是高考數列的常見題型，其中由遞推公式求通項公式是一個重要的考點，也是一個復習的難點，而用待定系數法構造輔助數列是解此類問題的一個行之有效的方法.下面對其一般解法進行歸納.

形如an+1=kan+f (n) (k≠1)的遞推公式，先構造一個輔助的等比數列，再根據輔助數列與an的關系求出an，根據f(n)的情況用待定系數法構造an+1+φ(n+1)＝k［an+φ(n)］，則數列{an+φ(n)}就是以a1+φ(1)為首項，k為公比的等比數列. 

一、 當f(n)是關于n的一次函數時

【例1】在數列{an}中，a1=4，an+1=4an-3n-5，n∈N*．求數列{an}的通項公式.

分析：構造一次函數φ(n)=λn+μ，即an+1-［λ (n+1)+μ］=4［an-(λn+μ)］ ，

整理得，an+1=4an-3λn-3μ+λ.

由-3λ=-3，-3μ+λ=-5

得λ=1，μ=2，

即φ(n)=n+2，

即an+1-［(n+1)+2］=4［an-(n+2)］，

bn= an-(n+2)，則bn+1=4bn，b1=a1-(1+2)=1.

所以數列{ bn }是首項為1、公比為4的等比數列，

∴bn =4n-1 ， 即an-(n+2) =4n-1，

故an =4n-1+n+2.

注意：構造函數φ(n)與f(n)是同一類型函數，即一次函數.

二、當f(n)是關于n的二次函數時

【例2】已知數列{an}的首項a1=2，且滿足an+1=2an+n2+1，求該數列{an}的通項公式.

分析：構造φ(n)=pn2+qn+r，即an+1+［p(n+1)2+q(n+1)+r］=2(an+pn2+qn+r)，

整理得

an+1=2an+pn2+(q-2p)n+r-p-q，從而得

p=1，q-2p=0，r-p-q=1，解得p=1，q=2，r=3.



即an+1+［ (n+1)2+2(n+1)+3］=2(an+n2+2n+3).

令cn=(an+n2+2n+3)，則cn+1＝2cn，又c1=8，故{cn}是以8為首項、2為公比的等比數列.

∴ cn=8#8226;2n-1=2n+2，an=2n+2- n2-2n-3.

三、當f(n)是關于n的指數型函數時

【例3】數列{an}中a1=1，an+1=2an+3n-1，求數列{an}的通項公式.

分析：構造φ(n)= k#8226;3n，由題意可設an+1+k#8226;3n+1 +b=2(an+k#8226;3n+b)，整理得

an+1=2an-k#8226;3n+b， 從而得

-k=1，b=-1，即k=b=-1，



an+1-3n+1-1=2(an-3n-1).

令bn=an-3n-1，則bn+1＝2bn，又b1=a1-3-1=-3，故{bn}是以-3為首項、2為公比的等比數列.

∴ bn=-3#8226;2n ，an=-3#8226;2n+3n+1.

四、其他形式

【例4】數列{an}中a1=1，a2=53，an+2=53an+1-23an

，求數列{an}的通項公式.

分析：由題意可設an+2-μan+1=λ(an+1-μan)

，整理得an+2=(λ+μ)αn+1-λμan.



從而有

λ+μ=53，λ#8226;μ=23，

解得μ=1，λ=23.



an+2-an+1=23(an+1-μan)，a2-a1=23，

令bn=an+1-an，則bn+1=23bn，又b1=a2-a1=23，故{bn}是以23為首項、23為公比的等比數列.

∴bn=an+1-an=(23)n，an-an-1=(23)n-1 ，再運用累加法，可得

an=(an-an-1)+(an-1-an-2）+…+(a2-a1)+a1=(23)n-1+(23)n-2+…+23+1=3-2n3n-1，



即an=3-2n3n-1.



(責任編輯金鈴）

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