例談分類討論思想在解題中的運(yùn)用

參數(shù)廣泛地存在于中學(xué)數(shù)學(xué)的各類問題中，也是近幾年來高考重點(diǎn)考查的熱點(diǎn)問題之一.以命題的條件和結(jié)論的結(jié)構(gòu)為標(biāo)準(zhǔn)，含參數(shù)的問題主要可分為兩種類型：一種類型的問題是根據(jù)參數(shù)在允許值范圍內(nèi)的不同取值（或取值范圍），去探求命題可能出現(xiàn)的結(jié)果，然后歸納出命題的結(jié)論；另一種類型的問題是給定命題的結(jié)論去探求參數(shù)的取值范圍或參數(shù)應(yīng)滿足的條件.現(xiàn)就第一類問題的解題思想——分類與討論思想，結(jié)合例題做些探討.

解決第一類型的含參數(shù)問題，通常要用“分類討論”的思想，即根據(jù)問題的條件和所涉及的概念；運(yùn)用的定理、公式、性質(zhì)以及運(yùn)算的需要；圖形的位置等進(jìn)行科學(xué)合理的分類，然后逐類分別加以討論，探求出各自的結(jié)果，最后歸納出命題的結(jié)論，達(dá)到解決問題的目的.它實(shí)際上是一種化難為易、化繁為簡(jiǎn)的解題策略和方法.

一、 科學(xué)合理的分類

把一個(gè)集合A分成若干個(gè)非空真子集Ai（i=1，2，3，…，n）（n≥2，n∈N），使集合A中的每一個(gè)元素屬于且僅屬于某一個(gè)子集，即

① A1∪A2∪A3∪…∪An＝A；

②Ai∩Aj＝（i，j∈N，且i≠j），

則稱對(duì)集合A進(jìn)行了n劃分.

科學(xué)的分類滿足兩個(gè)條件：條件①保證分類不遺漏；條件②保證分類不重復(fù).在此基礎(chǔ)上根據(jù)問題的條件和特征進(jìn)行分類，但應(yīng)盡可能減少分類的類別.

二、確定分類標(biāo)準(zhǔn)

在確定討論的對(duì)象后，最困難的是確定分類的標(biāo)準(zhǔn).一般來講，分類標(biāo)準(zhǔn)的確定通常有三種：

1.根據(jù)數(shù)學(xué)概念來確定分類標(biāo)準(zhǔn)

例如：絕對(duì)值的定義是：｜a｜=a(a＞0)；0(a=0)；-a(a＜0).



所以在解含有絕對(duì)值的不等式|log13x|+|log13 (3－x)|≥1時(shí)，就必須根據(jù)確定log13x、log13

（3－x）正負(fù)的x的值將定義域（0，3）分成三個(gè)區(qū)間進(jìn)行討論，即分0＜x＜1，

1≤x＜2，2≤x＜3三種情形討論.

【例1】已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到原點(diǎn)O的距離為m，到直線L：x＝2的距離為n，且m+n＝4.

（1） 求點(diǎn)M的軌跡方程；

（2） 過原點(diǎn)O作傾斜角為α的直線與點(diǎn)M的軌跡曲線交于P、Q兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)｜PQ｜的最大值及對(duì)應(yīng)的傾斜角α.

解：（1）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），依題意可得：

x2+y2+｜x-2｜= 4.

根據(jù)絕對(duì)值的概念，軌跡方程取決于x＞2還是x≤2，所以以2為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類討論可

得軌跡方程為：y2 =4(x-1)(-1≤x＜2);-12(x-3)(2≤x＜3).



（2）如右圖，由于P，Q的位置變化，

弦長(zhǎng)｜PQ｜的表達(dá)式不同，故必須分點(diǎn)P，Q都在曲線y2=4(x+1)上以及一點(diǎn)在曲線y2=4(x+1)上而另一點(diǎn)在曲線y2=－12（x－3）上，

從而可求得：｜PQ｜=

4sin2α(π3≤α≤2π3);

81+cosα(0≤α＜π3);

81-cosα(2π3＜α＜π).



∴當(dāng)α=π3或α=2π3時(shí)，｜PQ｜max=163.

2.根據(jù)數(shù)學(xué)中的定理、

公式和性質(zhì)確定分類標(biāo)準(zhǔn)

數(shù)學(xué)中的某些公式、定理、性質(zhì)在不同條件下有不同的結(jié)論，在運(yùn)用它們時(shí)，就要分類討論，分類的依據(jù)是公式中的條件.

例如，對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax的單調(diào)性是分0＜a＜1和a＞1兩種情況給出的，所以在解底數(shù)中含有字母的不等式，如logx13>－1時(shí)，就應(yīng)以底數(shù)x＞1和0＜x＜1進(jìn)行分類討論，即：當(dāng)x＞1時(shí)，13＞1x， 當(dāng)0＜x＜1時(shí)，13＜1x.

【例2】設(shè)首項(xiàng)為1，公比為q（q＞0）的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，又設(shè)Tn＝SnSn+1，n＝1，2，…

求limn→∞Tn.

解：當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝n，Tn＝nn+1，∴limn→∞Tn=1 .

當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝1-qn1-q，Sn+1=1-qn+11-q，Tn=1-qn1-qn+1.



于是當(dāng)0＜q＜1時(shí)，limn→∞qn=0，∴limn→∞Tn=1 .

當(dāng)q＞1時(shí)，limn→∞1qn=0，∴limn→∞Tn=1q.

綜上所述，limn→∞Tn=

1(0＜q≤1);1q(q＞1).



3.根據(jù)運(yùn)算的需要確定分類標(biāo)準(zhǔn)

例如：解不等式組

3＜x＜4，1＜x＜a.

顯然，應(yīng)以3，4為標(biāo)準(zhǔn)將a分為1＜a≤3，3＜a≤4，a＞4三種情況進(jìn)行討論.

【例3】解關(guān)于x的不等式組

loga2x＜2logax;(a-1)x2＜a2-1.



其中a＞0且a≠1.

解:由于不等式中均含有參數(shù)a，其解的狀況均取決于a＞1還是a＜1，所以以1為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類.

（Ⅰ）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，可求得解為:a+1＜x＜2 ;

（Ⅱ）當(dāng)a＞1時(shí)，可解得:x＞2，0＜x＜a+1， 此時(shí)不等式組是否有解關(guān)鍵取決于a+1 與2的大小關(guān)系，所以以 a+1=2即a＝3為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行第二次分類.

（1） 當(dāng)1＜a≤3時(shí)，解集為;

（2） 當(dāng)a＞3時(shí)，解集為(2，a+1) .

綜上所述：當(dāng)0＜a＜1時(shí)，原不等式解集為 (a+1，2) ;當(dāng)1＜a≤3時(shí)，解集為；

當(dāng)a＞3時(shí)，解集為 (2， a+1).

三、分類討論的方法和步驟

（1） 確定是否需要分類討論以及需要討論的對(duì)象和它的取值范圍；

（2） 確定分類標(biāo)準(zhǔn)科學(xué)、合理；

（3） 逐類進(jìn)行討論得出各類結(jié)果；

（4） 歸納各類結(jié)論.

【例4】若函數(shù)f（x）＝a+bcosx+csinx的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，1）和（π2，1）兩點(diǎn)，且x∈［0，π2］時(shí)，｜f（x）｜≤2恒成立，試求a的取值范圍.

解：由f（0）＝a+b＝1，f（π2）＝a+c＝1，求得b＝c＝1－a.

f（x）＝a+（1－a）（sinx+cosx）＝a+2（1－a）sin（x+π4）.

∵π4≤x+π4≤3π4，∴22≤sin(x+π4)≤1.



①當(dāng)a≤1時(shí)，1≤f（x）≤a＋2（1－a）.∵｜f（x）｜≤2，∴只要a+2（1－a）≤2，解得a≥-2.∴－2≤a≤1；②當(dāng)a＞1時(shí)，a＋2（1－a）≤f（x）≤1，∴只要a＋2（1－a）≥－2，解得a≤4+32， ∴1＜a≤4+32.綜合①②知實(shí)數(shù)a的取值范圍為［－2，4+32］.

【例5】等差數(shù)列｛an｝的公差d＜0，Sn為前n項(xiàng)之和，若Sp＝Sq（p，q∈N，p≠q），試用d，p，q表示Sn的最大值.

略解：由Sp＝Sq，p≠q可求得a1=-p+q-12d.



∵d＜0，∴a1＞0，當(dāng)且僅當(dāng)

an≥0，an+1≤0

時(shí)，Sn最大.

由an≥0 得n≤p+q+12，由an+1≤0得，n≥p+q-12.

∴p+q-12≤n≤p+q+12，∵n∈N，∴要以p+q-12是否為正整數(shù)即p+q是奇數(shù)還是偶數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)分兩類討論.

（1） 當(dāng)p+q為偶數(shù)時(shí)，n＝p+q2，Sn最大且為(Sn)max=-(p+q)28d；

（2） 當(dāng)p+q為奇數(shù)時(shí)，n＝p+q-12或n＝p+q+12，Sn最大且 為（Sn）max＝1-(p+q)28d.

分類討論的思想是一種重要的解題策略，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性、嚴(yán)謹(jǐn)性和靈活性以及提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力無疑具有較大的幫助.然而并不是問題中一出現(xiàn)含參數(shù)問題就一定得分類討論，如果能利用數(shù)形結(jié)合的思想、函數(shù)的思想等解題思想方法可避免或簡(jiǎn)化分類討論，從而達(dá)到迅速、準(zhǔn)確的解題效果.

【例6】解關(guān)于x的不等式：3+2x-x2≥a－x.

略解：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解題.如圖，

在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y＝3+2x-x2和

y＝a－x的圖象，

以L1 ， L2， L3在y軸上的截距作為分類標(biāo)準(zhǔn)，

知:當(dāng)a≤－1時(shí)， －1≤x≤3；

當(dāng)－1＜a≤3時(shí)， 1+a--a2+2a+72≤x≤3 ；

當(dāng)3＜a≤1+22時(shí)， 1+a--a2+2a+72≤x≤1+a+-a2+2a+72.



當(dāng)a＞1+22時(shí)，不等式無解.

(責(zé)任編輯金鈴）

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