例談機械能守恒定律在解豎直圓周運動問題中的運用

能量轉化和守恒問題是自然界中最普遍、最基本，也是最重要的客觀規律。在用機械能守恒定律解決豎直面內的圓周運動問題時，既要掌握圓周運動的規律，更要正確理解機械能守恒的條件：其一，對某一物體來說，若只有重力做功，或其他外力做功的代數和為零，物體的機械能守恒；其二，對某一系統，在某一運動過程中，物體間只有動能和重力勢能（或彈性勢能）的相互轉化，則系統機械能守恒。因此在解題時，分析物體運動過程中的受力情況和做功情況以及動能關系是解題的關鍵。

豎直圓周運動中，物體所受的力是變力，只要符合守恒條件，機械能就守恒。對豎直圓周運動問題的解決，首先要對物理過程進行受力分析，做功分析，判斷機械能是否守恒。其次要根據機械能守恒列方程，其思路是（1）從守恒觀點出發，初末狀態機械能不變；（2）從能量轉化觀點看，動能（或勢能）的減少量等于勢能（或動能）的增加量，ΔEp=-ΔEk；（3）從能量轉移的觀點看，系統中A的機械能的增加，等于B機械能的減少，ΔEA=-ΔEB。

在豎直圓周運動中，往往已知狀態是間接給出。要運用圓周運動的特點，找出豎直圓周運動中的關鍵點，最高點和最低點。同時注意關鍵詞，如“恰好”，“剛好”等。

圖1

【例1】 如圖1，斜槽軌道下端與豎直圓軌道相接成過山車軌道的一部分，一質量為m的過山車從斜槽軌道A點靜止下滑，運動到圓形軌道時恰好通過最高點C，軌道光滑，則（1）過山車在A點時離軌道低點至少多高？（2）過山車經軌道最低B時速度多大？對軌道壓力多大？

解析:過山車沿光滑軌道由A運動到C，受重力和支持力作用，支持力始終與運動方向垂直，不做功，只有重

力做功，故機械能守恒。取最低點B為參考面，設過山車過C點時的速度為vC，則有EA機=EC機，C點速度vC未知。因為過山車“恰好”能通過圓周運動的最高點，說明在最高點時只有重力提供向心力，車對軌道無壓力，則有

mgH=mg#8226;2R+12mv2C………①

mg=mv2R…………②

聯立①②解得A點離最低點的高度H=2.5R

（2）設最低點B的速度為vB，對軌道壓力為FN′，則小車受軌道的支持力FN和重力mg作用，由圓周運動規律得FN-mg=m#8226;v2BR ………… ③

mg#8226;2R+12mv2c=12mv2B ………④

聯立解得FN=6mg，vB=5Rg=5vC。由牛頓第三定律得FN′＝6mg。

圖3

【例2】 半徑為R的輕質圓盤與地面垂直，圓心處有一固定軸O，在圓盤邊上固定一質量為m的小球A，在軸O正下方R2處固定一質量也為m的小球B，放開盤讓其自由轉動。問（1）小球A轉到最低點時的速度多大？（2）在轉動過程中半徑OA向左偏移豎直方向多大？ 

解析：A、B兩球與圓盤組成系統，在盤旋轉過程中，A小球勢能的減少，等于A小球動能的增加和B物體動能、勢能增加量的總和，故機械能守恒。（1）設A到最低點速度為vA，則B的速度為vB，則

vB=ωR2=vA2……… ①

mgR2+mv2A2+mv2B2＝mgR

………………②

由①②式解得vA=4gR5

（2）設當半徑OA偏離豎直方向α時，圓盤速度為零，B物體增加的勢能等于A物體減少的勢能

mgRcosα=mgR2+12mgRsinα…………③

解得α=arcsin35=37°.

利用機械能守恒解豎直圓周運動問題時，如果從“守恒”觀點出發，應選取零勢面。從“能量”轉化或轉移觀點出發則不必設零勢面，由守恒定律可得ΔEK=-ΔEP和ΔEA=-ΔEB，只要弄清楚能量的轉化和轉移量既可。利用機械能守恒定律解決豎直圓周運動問題時，應注意機械能守恒的條件以及守恒的表達形式，也要掌握圓周運動的特點和解決技巧，這樣才能達到事半功倍的效果。

(責任編輯 易志毅）

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