全是“加1”法作的祟

在查閱有關植樹問題資料時，很榮幸拜讀了楊安林老師《對“平面植樹問題的新見解”之見解》（《廣東教育》綜合版2004年10期）和李桂良老師《平面植樹問題的新見解》（《廣東教育》綜合版2004年06期）兩篇文章。李老師以大膽創新的精神提出“平面植樹問題的新見解”，時隔幾個月，楊老師又以《對“平面植樹問題的新見解”之見解》為題發表評說，闡述自己的觀點。我認為李、楊兩位老師圍繞植樹問題的學術之爭論，完全是由“加1”法作的祟。

眾所周知，現行小學數學教材中計算植樹棵數的方法是：

1． 求非封閉線路上的植樹棵數：

（1） 兩端都栽：植樹段長度÷間距長度+1=棵數

（2） 只栽一端：植樹段長度÷間距長度=棵數

（3） 兩端都不栽：植樹段長度÷間距長度-1=棵數

2． 求封閉線路上的植樹棵數：植樹段長度÷間距長度=棵數

3． 求平面植樹棵數：總面積÷每棵所占面積=棵數

我認為，求非封閉線路上的植樹棵數，若兩端都栽須“加1”的解法缺乏實踐支撐，或許是誤解。

例如，我曾經叫小朋友剪過窗花，發給他們60厘米長10厘米寬的彩紙，叫他們每隔10厘米剪出1棵大樹。根據上繳的作業看，主要剪出二類：一類是依次相連的6棵完整的大樹；另一類是看似7棵大樹依次相連，然而，實際上頭尾是2個半棵大樹，它們分別在兩個端點向中間5棵完整的大樹依次相連，而且頭尾2個半棵大樹非常對稱，合起來剛好是1棵完整的樹，且與其他5棵大樹完全相同，如果把第二類樹全部合起來的話，恰恰也是6棵完整的大樹，而不可能為7棵，因為兩端的是2個“半棵樹”啊！

又如，要把一塊長300米，寬200米的荒地開墾后建成果園，以行距5米，株距4米栽種一批水蜜桃，共栽多少棵水蜜桃？

解法一：按“加1”法計算，行列兩端都栽：

（1）（300÷5+1）×（200÷4+1）=3111（棵）

（2）（300÷4+1）×（200÷5+1）=3116（棵）

解法二：按“減1”法計算，行列兩端都不栽：

（1）（300÷5-1）×（200÷4-1）=2891（棵）

（2）（300÷4-1）×（200÷5-1）=2886（棵）

解法三：按間距中點法計算（即行距中點和列距中點的連線交點栽）：

（1）（300÷5）×（200 ÷4）=3000（棵）

（2）（300÷4）×（200 ÷5）=3000（棵）

解法四：按面積比計算栽：

（1）（300×200）÷（5×4）=3000(棵)

（2）（300×200）÷（4×5）=3000(棵)

上述一個問題，卻出現五種答案，哪個是正確的呢？解法一，按“加1”法計算，樹從行距和列距的端點上栽起，多種了樹；解法二，按“減1”法計算，少種了樹；按“間距中點”法和按面積比計算，計算結果相同，是正確的。那么，正確的理由在哪里呢？因為，行距中點連線和株距中點連線的交點剛好與這個5×4或4×5的長方形兩條對角線的交點相重合，因此，它們不但植樹棵數相同，而且植樹點也完全重合，所以，正確無疑。

綜上所述，我認為“間距中點”法【《植樹問題“加1”（“減1”）法探討》，《中小學數學》小學版2009年12期）】是植樹問題完美的解法。“間距中點”法操作方便，只要從該植樹段任意一端的第一個間距中點處植下第一棵樹（“加1”法是在該段端點處植下第一棵樹的），以下依次按間距種植（與“加1”法類似），這樣，距另一端的最后一個間距中點處就剛好植完了計劃所植的樹。另一方面，從算理上分析，可以先求出該植樹段含有多少個這樣的間距，然后在每個間距的中點植樹。用這種方法植樹，植樹棵數正好等于間隔數。而植樹（出題）時所規定的間距，科學地為各類樹種提供至少足夠的生長空間，“二分之一間距”也許是每棵樹冠充足的覆蓋半徑，樹木有生命，會長大，且需占有一定的生長空間。栽種在兩端點上的樹，肯定各有半棵的生長空間不屬于規定栽種的地界內。因此，若兩端都栽用“加1”法不科學。

若兩端都不栽，教材采用“減1”法解決。“減1”法因難而生，為“加1”法排憂解難。然而，“減1”法看起來沒把樹栽種在兩端點上了，而實際上是栽在植樹段長度與間距長度的模上，純屬端點的軌跡。再說，“減1”法是“加1”法的翻版，由“加1減2”的思路得來的：假設兩端都栽而加1，而實際兩端都不載而減2，無非少栽了一棵樹。

采用“間距中點”法植樹，無論直線還是封閉形，植樹棵數等于植樹段長度除以間距長度。植樹棵數與植樹段長度成正比，與它的間距長度成反比；而與它是否封閉無關。“加1”法（“減1”法）不復存在了，老師不必為“加1”（“減1”）白費勁了，學生也不必為“加1”（“減1”）苦惱了。“間距中點”法統一了非封閉線路上、封閉線路上和平面上植樹問題的計算方法，回歸了植樹問題本來的面目。