例析數學概念性錯誤

數學概念是構建數學理論大廈的基石，準確把握概念是學好數學的關鍵．下面我們將羅列出求解數學題的過程中常見的概念性錯誤，希望同學們通過辨析得到啟發，引以為戒．

一、概念混淆：混用相近的概念

例1已知向量ａ，ｂ滿足a＝b＝１，求Ｓ＝a+b#8226;a-2b的取值范圍．

錯解： 設向量ａ，ｂ的夾角為θ，則Ｓ＝a+b#8226;a-2b＝（a+b）（a-2b）＝a２-2b２－ab＝-1-cosθ∈［０，２］．

錯因分析：要求a+b#8226;a-2b，應分別求出向量a+b和ａ－２ｂ的模長再相乘. 錯解直接把向量ａ＋ｂ和向量ａ－２ｂ相乘，然后算出絕對值，混淆了向量的模與實數的絕對值這兩個概念．兩個實數乘積的絕對值為a#8226;b，兩個實數絕對值的乘積為a#8226;b，兩者相等；而兩個向量數量積的絕對值為a#8226;b=a#8226;b#8226;cosθ，兩個向量的模的乘積為a#8226;b，因此a#8226;b≠a#8226;b．

正解： 設向量ａ，ｂ的夾角為θ，則a+b２＝ ａ２＋ｂ２＋２ａｂ＝２＋２ｃｏｓθ，a-2b２＝５－４ｃｏｓθ，∴ Ｓ２＝－８ｃｏｓ２θ＋２ｃｏｓθ＋１０∈0，，∴ Ｓ∈0，．

例2求過點Ａ（０，１）的、曲線y=x3-2x2+1的切線方程．

錯解： 把Ａ（０，１）代入曲線方程，可知點Ａ在曲線上． ∵ y′=3x2-4x，∴切線斜率k=y′x=0=0， ∴所求切線方程為y=1．

錯因分析： “過點Ａ的切線”與“點Ａ處的切線”是兩個不同的概念．“過點Ａ的切線”是指切線經過點Ａ，而“點Ａ處的切線”是指切線以點Ａ為切點．

正解： 設切點坐標為（t，t3-2t2+1）. ∵ y′=3x2-4x，∴切線方程為y-（t3-2t2+1）=（3t2-4t）（x-t）. 將Ａ（０，１）代入，整理得t3-t2=0， 解得t=0或t=1. ∴所求切線的方程為y=1或y=-x+1．

評注： 相近概念在形式與含義上有著相似之處，因此常常容易引起混淆．要避免發生這種錯誤，就要把相近的概念進行比較，辨析它們的區別和聯系，弄清它們不同的內涵和外延.

二、概念模糊：對概念的理解望文生義，不求甚解

例3已知復數z1＝3-5i，z2=1-i，則的虛部是

（Ａ） １（Ｂ） ４（Ｃ） i（Ｄ） ４i

錯解： ====-1+4i，虛部為４i，選Ｄ．

錯因分析： 錯解把虛部的概念曲解成了虛數． 在復數a+bi中，如果b≠0，那么ｂｉ就是虛數．而復數的虛部僅指復數代數形式中虛數單位i的系數，是一個實數．