一例釋三疑

提問：我知道可以用導數的正負來判斷函數的單調性，可老師卻說，“導數正，函數增；函數增，導數卻未必正”，難道增函數的導數值還會是負的嗎？

回答：“未必正”不是指“可以為負”，而是“可能為”． 以函數ｆ（ｘ）＝x3為例，如圖1所示，它在R上單調遞增，但ｆ′（ｘ）＝3x2≥0，且僅在原點處有ｆ′（0）=0．

這是不是意味著“若ｆ′（ｘ）≥0恒成立，ｆ（ｘ）就是增函數”呢？不是. 比如分段函數ｆ（ｘ）=-x2（x<0），0（0≤ｘ≤1），ｘ-1 （x＞1）， 其導函數ｆ′（ｘ）≥0. 分析可知，在連續區間［0，1］上，ｆ′（ｘ）=0，ｆ（ｘ）為常函數． 所以函數ｆ（ｘ）=-x2（x<0），0（0≤ｘ≤1），ｘ-1 （x＞1）不是增函數． 也就是說，如果導數值為零的點連續，函數就不是增函數；只有導數值為零的點不連續，且其他導數值均大于零，函數才是增函數．

因此，函數ｆ（ｘ）為增函數的充要條件是：ｆ′（ｘ）≥0且導數零點對應的點是函數圖象中不連續的點．

由此可見，判斷函數單調性的比較安全可靠的做法是：先求導，再對導函數的零點進行檢驗，如果這些點連續，那函數就不具有單調性．

提問：我們經常利用導數求切線的斜率，但有時求出的切線居然會和函數圖象相交，難道說切線與函數圖象的公共點可以不止有一個嗎？

回答：沒錯，這樣的例子其實有很多．我們仍然以函數ｆ（ｘ）=x3為例，如圖2所示，函數在點P（-1，-1）處的切線是ｌ：ｙ＝3ｘ+2，直線l與點P附近的曲線“相切”，卻與ｆ（ｘ）的圖象交于點Q（2，8）．為什么會出現這樣的“怪”現象呢？原因在于，“切線”的概念是由“割線”的兩個公共點無限趨近后演變而來的，關注的是切線與切點周圍一個很小區域內的曲線“相切”，但不排除切線與曲線其他部分相交的可能性. 由此，我們就可以理解ｙ＝ｘ3在點O（0，0）處的切線……