走出困境:導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)不可求

破解函數(shù)壓軸題

讓我們先來回顧一下導(dǎo)數(shù)的定義： ｆ′（ｘ）＝.

這個(gè)簡單而美妙的定義，引出了導(dǎo)數(shù)的四大基本功能：（1） 根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2） 根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)求函數(shù)的極值點(diǎn)；（3） 根據(jù)v（t）=s′（t）求復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度；（4）根據(jù)ｋ＝ｆ′（ｘ）確定任意曲線上任意一點(diǎn)處的切線斜率．

于是，在面對(duì)那些晦澀難懂的函數(shù)題時(shí)，我們又多了一種高屋建瓴的新思路——求導(dǎo)．

導(dǎo)數(shù)是高中學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，這幾年的高考函數(shù)壓軸題，都需要依靠導(dǎo)數(shù)的幫助來求解. 但隨著學(xué)習(xí)的深入和問題的日漸復(fù)雜，有些函數(shù)題已經(jīng)不能僅僅依靠求導(dǎo)等常規(guī)手段來解決了. 那該怎么辦呢？從本期開始，我們將和同學(xué)們一起面對(duì)高考函數(shù)壓軸題帶來的一個(gè)個(gè)“麻煩”，共同體驗(yàn)化解各種困境的數(shù)學(xué)智慧．

要求極值點(diǎn)，就要先求導(dǎo)． 但如果導(dǎo)函數(shù)很復(fù)雜，無法解得零點(diǎn)，那該怎么辦呢？讓我們用一道例題來說明．

例當(dāng)x≥0時(shí)，ex≥1+x+ax2恒成立，求a的取值范圍．

常規(guī)思路1：設(shè)ｆ（ｘ）=ex-（1+x+ax2）. 要使x≥0時(shí)ｆ（ｘ）≥0恒成立，只要證明ｆ（ｘ）min≥0即可．欲求最值，應(yīng)先求極值；欲求極值，應(yīng)先求ｆ′（ｘ）=ex-1-2ax=0的根．

麻煩：方程ex-1-2ax=0該如何求解呢？

常規(guī)思路2：當(dāng)x=0時(shí)，ex＝1+x+ax2＝1，∴ ex≥1+x+ax2恒成立，故只需考慮x>0時(shí)的情況． 此時(shí)問題等價(jià)于當(dāng)x>0時(shí)，a≤恒成立． 設(shè)g（ｘ）=，若能求出g（ｘ）的最小值m，則a的取值范圍便是a≤m． 為求得m，應(yīng)求g′（ｘ）=-=＝0的根．

麻煩：顯然，g′（ｘ）=0比常規(guī)思路1中的f′（ｘ）=0更難求解．

分析：其實(shí)大量的函數(shù)綜合題都存在類似的難點(diǎn)，我們?cè)蛩阃ㄟ^導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)找出原函數(shù)的極值點(diǎn)，結(jié)果卻得到了一個(gè)無法求解的方程．怎么辦？

同學(xué)們都會(huì)證明這個(gè)不等式：當(dāng)x≥0時(shí)，ex≥1+x．為什么這個(gè)不等式恒成立？……