巧選變量 妙解難題

在分析求解許多含參數的數學問題時，都涉及常量與變量的區分和選擇．確定題目中處于突出和主導地位的變量，是解題的重中之重． 然而，受慣性思維的影響，很多同學不能辯證地選擇變量． 實際上，我們可以人為地突出某個常量或變量的地位，巧選變量，妙解難題．

一、巧選字母參數為變量

例1對任意a∈［-1，1］，函數ｆ（ｘ）=x2+（a-4）x+4-2a>0恒成立，求x的取值范圍．

分析：初看題意，似乎是要解關于x的一元二次不等式，但若把a看成變量，把x看成系數，那么原題就可轉化為關于a的一次不等式（x-2）a+x2-4x+4>0在a∈［-1，1］上恒成立的問題．

解：令ｆ（a）=（ｘ-2）ａ+ｘ2-4ｘ+4＝（ｘ-2）ａ+（ｘ-2）2，則ｆ（ａ）是以ａ為自變量的一次函數．由題意可知，ｆ（ａ）＞0在a∈［-1，1］上恒成立．

當ｘ＝2時，ｆ（a）=0，不合題意；

當ｘ≠2時，有 ｆ（1）>0， ｆ（-1）>0.解得ｘ＜1或x>3．

綜上可得，x的取值范圍為（-∞，1）∪（3，+∞）．

評析：在例1中，已知a的取值范圍求x的取值范圍，是典型的解不等式的逆向問題．如果沒有認真分析參量a與變量x的特征，按照慣性思維，將題目視為關于x的不等式，進行分類討論并求解，就很容易陷入困境． 在解此類問題時應辯證地看待參量和變量的地位，簡化解答過程．

例2已知關于x的方程x3-ax2-2ax+a2-1=0有且只有一個實根，求實數a的取值范圍．

分析： 分析題意，似乎是要解關于x的一元三次方程，直接求解的難度很大．有些同學想到利用導數討論函數的圖象，但極值點含有字母a，無法通過運算得出結果． 若將a視為變量，把原方程轉換成關于a的一元二次方程，解題的難度就能降低不少．

解：將a看做變量，則原方程轉換為關于a的一元二次方程a2-（x2+2x）#8226;a+x3-1=0. 整理得［a-（x2+ｘ+1）］［a-（ｘ-1）］＝0，解得a=x2+ｘ+1或a=x-1．由題意可知，方……