如何在微積分教學中加強數學建模思想

摘要：在課堂教學當中引進數學小模型，不但有助于提高數學課堂的趣味性和生動性，而且有利于培養學生對數學重要性的直觀認識，真正從認識當中對其引起足夠的重視，從而為數學教學教學的開展奠定基礎。

關鍵詞：微積分教學，數學教學，建模思想

1、引言

數學是大部分院校的一門必修課，尤其是數學當中的微積分這一分支，更是必不可少，絕大多數專業都要學習。但長期以來，數學所留給人們的印象始終是“枯燥”、“無趣”的，經常會使一些學生對其望而卻步，更不要是對其充滿探索的興趣了。但實際上，數學的思維方式是極為活躍的，需要保持高度集中的注意力以及思維的跳躍性和連貫性，一旦涉及其中，就會感受到數學本身所具有的意想不到的活力。這樣，對于數學教師而言，擺在面前的一項十分關鍵性的工作就是如何激發學生們對數學的興趣以及積極深入探索的欲望，從而有機會感受到數學所獨有的魅力，筆者結合多年來在數學教學實踐中所總結出的經驗體會，主張可以借用數學小模型的教學手段，致力于學生數學思想的培養、思維方式的引導以及具體知識的實際應用能力的訓練，營造出一個嶄新的數學教學環境和學習氛圍，以充分激發學生的求知欲和好奇心，引導學生對微積分課程教育動態進行深入探討。

當前，數學模型這一數學課程就倍受教育界推崇。數學理論知識與現實問題的解決之間是通過數學建模這一紐帶相連的，所謂數學建模，就是采取包括數學符號、公式、計算方法以及相關程序等數學語言對現實生活中的實際問題中的數量關系進行重新描述。數學建模受到社會各界的廣泛關注，一方面，數學建模以學生對理論知識的應用及駕馭能力為重點，通過對學生的數學基礎、應用能力和創新思維等方面的考察，有助于其樹立數學重要性的正確認識，體會到數學獨特魅力；另一方面，數學建模還有助于培養學生應用相關知識解決實際問題的能力、借助計算機求解數學模型的能力，同時，學生搜集資料，撰寫論文的能力也會相應提高。數學的出發點是解決實際問題，所以，在課堂教學中，可以試著適當的省略一些繁瑣的證明過程，篩選適宜的數學模型進行案例教學。具體到微分教學中，就可以適當的引進數學建模步驟的介紹，下面，筆者將以“商品廣告模型”為例，闡述數學微積分教學課堂設計方案。

2、問題的提出

隨著社會的進步，商品廣告在商品市場銷售方面所具有的重要意義逐漸引起了人們的普遍關注。然而如何了解廣告與銷售之間的關系?如何對不同時期的廣告效果加以評判?對于生產商以及廣告商而言，這些都是需要重點考慮的內容，下面筆者將對獨家銷售廣告模型進行探討。

3、模型假設

獨家銷售廣告模型的設計要建立在三個假設的基礎之上：假設一，商品銷售廣告會加快產品的銷售速度，但是商品廣告對商品銷售速度的影響是有限的，隨著商品在市場上趨于飽和，也就意味著銷售速度趨于極限值，一旦速度達到極限值，商品廣告對于產品的銷售速度將無濟于事，銷售速度呈現出下降趨勢；假設二，銷售速度突出特點之一就是自然衰減，所謂自然衰減指的是隨著商品銷售率的上升，商品銷售速度呈現下降趨勢；假設三，t時刻商品的銷售速度用s(t)表示; t時刻廣告水平用A(t)表示;M代表銷售的飽和水平，也就是市場對商品的最大容納能力，標志著銷售速度的上極限;衰減因子，也就是隨時間增加廣告作用自然衰減的速度，是大于零的常數。

4、模型建立

筆者所探討的主要問題中涉及的是商品銷售速度與時間之間的關系，即：商品銷售速度的變化=增長-自然衰減

為了對商品銷售速度增長進行準確描述，根據模型假設一，不難得出，商品銷售速度的凈增長率r(s)應該是商品銷售速度s(t)的減函數，并且存在飽和水平M，使得r(M)=0。為了進行更加直觀的說明，設s(t)的線性減函數為r(s)，則：r(s)=p[1-]。p表示響應函數，也就是廣告水平A(t)對商品銷售速s(t)度的影響能力，p為常數。于是，相應的微分方程模型為：p[1-]A(t)-s(t)

5、模型討論

當銷售水平較低的情況下，每增加單位廣告產生的效果，銷售速度s(t)接近極限速度M時增加廣告取得的效果，二者相比，前者的效果更顯著。

上面只是為說明問題而假設的一個例子，在教學過程中，可以根據講解的具體內容適當的引進一些小模型，引導學生進行較為深入的分析，例如，在講解閉區間上連續函數的三個定理的相關內容時，就可以相應的介紹一些數學模型，以使看似抽象復雜的問題更加容易被學生理解。通過解決問題的講解，根據課本中相關的數學理論，結合現實生活中的具體問題，開展數學建模教學，可以使學生對于新數學概念接受變得更加輕松。社會在進步，時代在發展，在素質教育備受關注的當今，作為數學老師，有責任也有義務對現行的數學教學方式開展深入的探討和研究。

例如在微積分中我們常常會用到評價模型，教師可以舉例來說明情況，由于我們運用的主要是專家的隱性知識對系統要素進行相對重要性判斷，不同的評審人員對不同影響因素的度量值是有差異的，為了得到各個評審人員所給出的W的相似性和關聯性，我們對其中的相似的程度進行矩陣計算，設相似系數為R，多層次之間的個別相似值分別為Ri和Rj，則Ri與Rj組成的相似系數之間的矩陣為：

（4.4），其計算的公式為：

（4.5），從式（4.4）和式（4.5）得到：Rij為第i位專家的意見與最后計算出的權重結果之間的相關程度，Rij越大，就表示其相關系數越大，很明顯得：Rij=1，并且Rij=Rji。

雖然不同的項目其影響因素的層次并不相同，但是由于進行估計的矩陣模型是相似的并且原理都是一致的，因此其輸出的評價集合都是 ，

在前面步驟的基礎上，得到評估與分值之間的模糊評價模型： 。

由式得到綜合評判的集合，設為J， ，可以推出：

由此可以對建設項目的影響因素進行確定：

6、其他說明

首先，講授以及實踐的學時的劃分。在微積分教學引子的課程當中，可以向學生進行大致的課時安排，即在學完相關課時之后可以對現實生活當中的實際問題進行解決，當微積分方程基本理論知識大致講解完畢之后，則可以著手引導學生進行解決實際問題相關能力的培養和訓練，講授以及實踐具體課時劃分的最佳方案是：講授課時占一到兩個學時，最好用一個學時主要針對學生所進行的相關練習以及教師所布置的課后作業進行較為詳細和深入的講解和點評，并注意在進行講解時要突出重點，詳略得當。

其次，教師以及學生對在微積分教學中加強數學建模思想的放映。當前在微積分教學單元中引進數學建模思想還是處于試點階段，從當前的試點實際情況來看，將數學建模思想引入到微積分教學單元取得了令人滿意的效果，具有極大的實際應用及進一步推廣的價值。根據試點的實際情況，教師以及學生對數學建模思想應用于微積分教學單元的做法的反映主要體現在以下幾方面：第一，無論是教師還是學生都對此表現出極大才興趣和參與積極性；第二，絕大多數教師和學生表示該種教學實踐探索是可以接受的；第三，對于將數學建模思想引入到微積分教學單元的探索中教師所布置的相關練習以及課后作業，除此之外，還有個別學生在按時按質按量完成相關的練習和課后作業的基礎前提下，還能夠與教師針對學習過程當中所遇到的問題進行交流和討論；第四，通過該試點，大部分學生對數學的重要性都有了更加深刻的認識，切身感受到了數學在現實生活問題解決當中的極大的價值，這就在很大程度上增加了學生進行微積分學習的動力。

最后，相關的體會及完善建議。將數學建模思想引入到微積分教學單元尚處于試點階段，比較常用的基本方式是，教師先進行建模任務的布置，之后進行相應的點評和示范，此種做法具有背景清晰確定、與現實生活的聯系十分密切等特點，盡管存在多種建模角度，但在具體的研究方法方面卻具有較大的相似性。對于初次接觸的學生而言，比較容易接受和掌握，并且自從將那些與學生的實際生活具有密切聯系的問題引人到建模當中后，廣大的教師及學生表現出極大的興趣。微分方程是數學分析的關鍵，一定要根據學生的實際知識結構情況以及所具有的學習能力，安排一個適宜的數學建模融入的教學單元，如果時間比較緊張，制作出PPT，在一邊示范的同時加以講解的方法是個不錯的選擇。

參考文獻：

[1] 邵東生.中學數學建模教學研究與實踐.福建師范大學，2001-08-01

[2] 孫寶法，王圣東，汪峻萍.微積分、數學模型及其它.合肥教育學院學報，2001年 第02期

[3] 韓寶燕.培養學生的數學建模能力.科技信息，2010年 第13期

[4] 王庚，張珠寶.數學建模融入微積分教學單元.大學數學，2006年 第04期

作者簡介：帥鯤，男，（1982-10-），漢族，四川成都人，研究方向：偏微分方程