建構微積分新教學體系

摘 要 本文首先指出了微積分教學中的困難并對知識體系安排的重要性進行了分析，然后結合自身的體會提出以人為本的現代教育理念，讓學生在圍繞問題組織的教學中學習數學，注重體現學生的主體性的發揮，為學生構建了微積分新的教學體系，以改善學生的學習方式，培養學生提出并解決問題的探究精神，從而提高教育質量。

關鍵詞 知識體系 微積分 探索

中圖分類號：G642文獻標識碼：A

微積分（Calculus）是研究函數的微分、積分以及應用的數學分支，是高等數學中的核心知識，它的發展是和解決實際問題有著密切的聯系，它為定義和計算不規則圖形面積、體積等提供了方法。從十七世紀微積分學創立起，伴隨著廣泛的應用，經過三百多年的發展，這門課的基本內容已經定型。

在西藏從事高等數學尤其是微積分教學，有很多現實的困難要面對。由于種種原因西藏數學教育內部存在一些問題，如藏族學生學習數學存在雙重語言障礙、小學數學教育基礎薄弱等，造成學生中學數學知識儲備不足，這給大學和中學數學教學銜接形成很多障礙，加之近幾年高校課時又不斷壓縮，造成高等數學學時緊張。這些困難可能導致有的教師上課不得不趕進度，為了學生考核而教學，對概念的內涵和外延不夠重視，追究不深，造成學生考分很高卻對微積分的核心思想掌握并不透徹的尷尬，耗費時間、精力卻達不到目的，只見樹木，不見森林。因此，在西藏地區有必要針對現實情況對微積分教學加以改革，建構傳授微積分知識的良好體系，更好地化解學生基礎知識欠缺和課時少的雙重壓力，把微積分的數學本質教給學生。

1 知識體系安排的重要性

華南理工大學校長李元元在回答偉大科學家錢學森先生的“為什么我們的學校總是培養不出杰出人才？”的中國教育之問時說，培養創新人才需要創新模式，應該從解放思想、轉變觀念開始。傳統的教育觀念片面強調基礎知識的傳授和知識面的鋪陳，這樣的教學有時甚至阻礙了學術“天才”、尖子生開展學術探究的激情和個性張揚。我們嘗試著用“帶著問題打基礎”的學習觀念，開展以解決前沿科學問題或解決重大工程技術問題為導向的探究式學習，將內容組織的主要形式變為：從問題情境到學生活動到意義建構到數學理論到數學運用最后到回顧反思。這中間需要對知識體系進行科學的調整和安排。過去，西藏農牧學院在分級教學的高層次班級中使用同濟大學數學系編的《高等數學》教材時，通過研究，總把常微分方程一章提前安排在一元函數微積分后教學，雖然教材使用不便，但有利于學生對知識的學習與掌握。此教材在新版（第六版）中，終于對深廣度進行了修訂和調整，其中微分方程一章調整在上冊第七章。這一變化體現的是教育實事求是和創新精神，著實令人欣慰，體現出教材服務于教學的精神。

好的知識體系能夠使得學生在建立知識的內在聯系過程中領悟本質。我們要試圖讓一位優秀的教師本身成為一本好的軟教材，怎么教，講什么，他心中有數，他會依賴于心而不是依賴于書。具體在微積分教學安排上，應該將基礎教育和高等教育貫通起來，以問題引導學習，逐步改變學生中學中形成的學數學就是為了做題和考試的思維模式，盡量采用“歸納法”，既講邏輯又講思想，引導學生通過類比、推廣的思維活動，養成根據研究的問題探究和學習新知識的良好習慣。

2 圍繞問題組織的教學

縱觀微積分，吳文俊說“龔昇教授以其敏銳的目光指出了微積分的核心是單變量的Newton——Leibniz微積分基本定理以及多變量的Stokes公式，可謂切中要害，并使高等院校的初學者得以輕松地登堂入室。” 正是這一“定理”和“公式”把微積分串聯了起來，給微積分該怎樣組織教學以啟迪。

2.1 曲邊梯形的面積從何而來

數學來源于生活，因此，微積分教學要還原問題情境，引導學生主動參于學習過程。曲邊梯形面積的計算就是很好的實際問題，也是開啟微積分教學大門的鑰匙，通過層層設問，步步逼近來實現教學過程。

2.1.1 為什么要求無窮小之和

生活中，不規則的，變化的事物太多。很多時候我們需要求平均值，但談何容易。通過對曲邊梯形面積的分析構造出一個特殊形式的和S = Si≈f ( i) xi，然后試圖求出其極限值。這種無窮小之和是微積分思想的起源，歷史上很多數學家進行過研究，如阿基米德、費馬、柯西等人。阿基米德這位數學史上最早明確指出誤差限度的 值的數學家，在解決這類面積時用的就是級數的有限項之和所成序列的近似法，這就是定積分J = f (x)dx。在積分中值定理

f (x)dx = f ( )(b - a)中f ( )正可謂f (x)在[a，b]上的平均值。

2.1.2 什么是極限及其作用

蘊含在上述問題中的基本思想是通過有限逼近無限，顯然極限研究不可缺少。此時才是引入極限的好時機。定積分定義比較完整地概括了積分思想，也比較深刻地揭示了極限和定積分概念的實質。根限將高等數學中不同的內容統一到了一起，有非常重要的作用。極限方法是研究數學分析的主要方法，是微積分的基礎，也正是由于極限，使得高等數學處處充滿變化，有些變化沒完沒了，讓高等數學成為研究動態的數學，這正是高等數學區別于初等數學的地方之一。但是關于極限學習，不在于領悟極限的 ， 定義，而是通過極限學習，培養和樹立學生的辯證唯物主義思想觀念。

2.2 怎么計算引出的話題

然而利用極限定義的積分，除去個別較為特殊的例子外很難計算。通常的辦法是先計算被積函數的原函數，就像加法與減法，乘法與除法是互逆運算一樣，積分和微分也是一對互逆的運算。牛頓和萊布尼茨為我們建立了溝通二者內在聯系的“定理”：f (x)dx =F(b)F(a)。該公式簡單有效，充分表達了定積分與不定積分之間的內在聯系，把本來毫不相關的兩個事物緊密地聯系起來，使得問題大大簡化，可見其在微積分學乃至整個高等數學上的重要地位，因此，牛頓—萊布尼茲公式也被稱作微積分基本定理。那什么是原函數和不定積分，什么又是微分呢？

2.3 微小變量的商能變成什么

生活中充滿著變化，函數刻畫變量關系。自變量改變因變量會隨之改變。自變量的增量改變時，因變量的增量也會改變，不但如此，因變量的增量與自變量的增量之商也改變。當自變量的增量趨于零時，因變量的增量與自變量的增量之商的極限即為導數（微商）：= 。自變量在不同的起始點（即x取值不同）取得增量，研究出來的導數往往不同。導數是隨著增量起始點的變化而變化的，從函數的觀點，又確定了一個函數（導函數）：f '(x) = ：=

函數與其導函數是兩個不同的函數。導函數只是反映函數在一點的局部特征， 它在解決直與曲的矛盾中發揮了很好的作用，核心思想便是以直代曲，即在微小的鄰域內，可以用一段切線段來代替曲線以簡化計算過程。如果要了解函數在其定義域上的整體性態，就需要在導函數及函數間建立起橋梁關系，微分中值定理扮演了這樣的角色，實現了由局部推斷整體的思想，集中體現在應用導函數判斷函數增加、減少、極值、凹凸、拐點等重要性態以及求極限的洛必達法則。

2.4 再說定積分

搞清楚了積分和微分的思想和定義，就明白了數學的應用價值。定積分是微分的逆運算，即知道了函數的導函數，反求原函數。在應用上，定積分作用不僅如此，它被大量應用于求和，為了方便在各類數學模型上的有效運用，就要進一步學習和領會微元法的要領，會分析和找“元素”，尋求被積表達式。最后再給出如平面圖形面積、旋轉體體積、變速直線運動的路程、平面曲線弧長、轉動慣量、變力作功、曲面面積、液體壓力、重心等一系列實際應用問題。在解決問題中加深理解和總結能利用定積分計算的題目具有的特點。

2.5 方法與技巧

工欲善其事，必先利其器。定積分與不定積分在概念上有根本的區別又有密切的聯系，怎么算導數與不定積分，是求定積分的關鍵，而極限問題又是其中的重要工具，根據西藏高等數學教學的實際，方法針對不同的對象和課時可以靈活調整，深淺可以自由把握，技巧性的知識由學生的接受程度可多可少。

3 探索后的回顧

圍繞問題組織教學，使得整個知識體系渾然一體，有機統一，不再抽象難理解。這種教學體系貫徹應用啟發式和探討式的教學方法，培養學生追根溯源的求問精神，可以充分地激發調動學生學習數學的熱情與積極性，可以加深學生對無限項求和的量變引起質變、導數定義中的無限接近等數學思想方法的掌握，通過問題解決的探究過程真正吃透數學是研究現實世界空間形式和數量關系的學科。整個教學中極限和微積分基本定理起到了一種不可或缺的橋梁紐帶作用，導數與不定積分既是知識又是方法，最終都統一到微分與積分的現實用處這一核心體系上。

4 結語

微積分又叫無窮小分析，它的產生革新了數學的觀念、思想和方法，是人類思維的偉大成果。其中知識是基礎，方法是中介，思想才是本源。要抓住數學本質并解釋這種本質，如概念的形成過程、問題解決的途徑探索等。教學中要與新課程理念有效結合，讓知識體系中潛在的聯系與區別浮出水面，建構出微積分新的教學體系，發揮數學教育的最大價值。

參考文獻

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