利用初等變換化二次型為標準型

摘 要 在高等代數這門課中，我們經常應用初等變換這一方法計算行列式的值、矩陣的逆、矩陣的秩。其實初等變換還有更廣泛的應用，本文主要介紹利用初等變換方法將二次型為標準型。

關鍵詞 初等變換 二次型 標準型

中圖分類號：O156文獻標識碼：A

二次型f (X) = XTAX，矩陣A是一個對稱矩陣，通常將二次型化為標準型的方法三種：（1）配方法；（2）正交變換法；（3）初等變換法。求解上述問題的一般步驟為：

（1）令|A -E| = 0，求得A全部不同的特征值 1， 2，…， 3， i(i = 1，2，…，s)的重數為ki，ki = n；

（2）對于每個 1(i = 1，2，…，s)，求出齊次線性方程組(A -iE)x = 0的一個基礎解系，，…，，這時為列向量；

（3）對，，…，，進行施密特正交化過程，得到ki個屬于 i的相互正交的特征向量，，…，(1≤i≤s)；

（4）將單位化得rij = ， (1≤i≤s，1≤j≤ki)；

（5）令C = (，…，，…，…，)，則C為所求矩陣，且CTAC為對角陣，其中主對角上的元素為 1…， 1，…， s，…， s。

上述求解過程比較繁瑣，特別是施密特正交化過程公式，較易忘記，而本文介紹的正交變換法就能快速地化二次型為標準型。由于二次型的標準型所對應的矩陣是對角矩陣∧，所以∧ A，即存在可逆矩陣C，使得CTAC = ∧。而C = P1P2…Pt，其中Pj(j = 1，…，t)為初等矩陣，CT =

上述這兩個式子說明，對矩陣A施行一系列成對的初等變換，將A化成對角矩陣E，就相當于對單位矩陣E施行同種類型的初等變換，將單位矩陣E化成可逆矩陣C。對角矩陣所對應的二次型就是標準型，可逆矩陣C就是可逆的線性變換X = CY所對應的矩陣。

因此我們作一個矩陣

這里需要說明的是，所謂合同變換是：當對矩陣施行一次初等行變換后，緊接著進行同樣的初等列變換，兩次變換必須同時進行。

例1 將二次型f (，，) =- 3 +- 2 + 2 - 6化成標準型。

解：此時二次型的矩陣，作矩陣

所以可逆的線性替換為

其標準型為f (，，) =- 4 +

例2 將實二次型f (，，) = 2 - 6 + 2化為標準型。

解：此二次型的系數矩陣，A的主對角元素全是0，先對Ａ作初等變換及其相應的列，使經過如此變換后得到的新合同陣的主對角有非零數。

所以可逆的線性替換為

標準型為：f (，，) = 2 -+ 6

初等變換在解決高等代數的有關問題中所具有的特殊作用，本文主要研究了將二次型化為標準型的有效方法——初等變換。

參考文獻

[1] 張賢科.高等代數.北京:清華大學出版社，2000.

[2] 楊桂元.線性代數.成都:電子科技大學出版社，2002.

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