初中數(shù)學(xué)不同版本教材課程難度比較研究

摘 要 知曉不同版本教材的課程難度，有利于根據(jù)學(xué)生的現(xiàn)實靈活的選取教學(xué)素材，提高教學(xué)效率。通過定性和定量兩個角度分別對人教版和北師大版數(shù)學(xué)教材中二次函數(shù)一章第一小節(jié)的例題進行教材課程難度評定。發(fā)現(xiàn)人教版例題難度大于北師大版例題難度，同時得到關(guān)于不同教材課程難度分析的一般模式。

關(guān)鍵詞 人教版教材 北師大版教材 例題 難度

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A

從中學(xué)數(shù)學(xué)教材中看，二次函數(shù)占有重要的地位。本文選取了九年級人民教育出版社、北京師范大學(xué)出版社兩個版本（以下簡稱人教版、北師大版）的初中數(shù)學(xué)課程標準實驗教科書二次函數(shù)一章中第一小節(jié)的例題為對象，從難度的角度進行對比分析，從數(shù)學(xué)例題的難度去探討數(shù)學(xué)課程難度。

1 定性比較研究

例題是用來說明某一定律或者定理，是把知識、技能、思想和方法聯(lián)系起來的紐帶。在教學(xué)過程中教師主要是通過例題的示范性，使學(xué)生獲得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識。由此可知例題在教學(xué)過程中有著重要的作用。

（1）例題數(shù)量的比較。人教版教材雖然只對引言中的題目做了簡單的解答，但是也讓學(xué)生初步了解了函數(shù)的表現(xiàn)形式，所以本文將此也歸結(jié)為例題。引言中的問題作為第一題，再有問題1和問題2。如此人教版教材的例題主要有三道題（簡稱：人教例1、2、3）。北師大版教材的例題是以同一題材為主題但分成應(yīng)用題和想一想兩個部分，如此北師大版教材一共有兩道例題（簡稱：北師例1、2）。

（2）例題類型的比較。人教例1、2都是以幾何圖形為題材的解答題，人教例3是以實際生活生產(chǎn)為題材的應(yīng)用題。三道例題將幾何與應(yīng)用相結(jié)合，豐富了例題的種類。北師大版教材的例題也是以生活生產(chǎn)為材料的應(yīng)用題，但是在北師例2中采取了探究和填圖的形式，讓學(xué)生自己動手做，找出最后的答案。充分體現(xiàn)了新課程標準的要求，讓學(xué)生主動地、親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進行解釋與應(yīng)用的過程。

（3）例題呈現(xiàn)形式的比較。二次函數(shù)第一小節(jié)的教學(xué)目標是讓學(xué)生明白什么是二次函數(shù)和二次函數(shù)表達式的呈現(xiàn)形式。在人教版教材中，人教例1讓學(xué)生先初步了解二次函數(shù)的表現(xiàn)形式，人教例2仔細分析了兩個量之間的關(guān)系，通過一步步細致的解答得到d與n的二次函數(shù)關(guān)系式。最后人教例3是以生活生產(chǎn)為例，除了進一步加深學(xué)生對二次函數(shù)知識的了解與應(yīng)用，還讓學(xué)生明白函數(shù)解析式中因變量與自變量的關(guān)系。北師大版教材的例題，北師例1首先給出生活生產(chǎn)的解答題，并且提出三個問題，教師可以通過第一個小問題來復(fù)習(xí)以前的知識，起到一個承上啟下的作用，第二和第三小問題層層加深直到寫出二次函數(shù)的解析式。北師例2運用了探究和填圖的形式，讓學(xué)生自己動手，深刻理解函數(shù)解析式中x的每一個值，y都有一個對應(yīng)值。

從以上三個方面的分析，了解到人教版的例題要多于北師大版的例題，在課時上會多一些，但是人教版通過三個例題由淺到深，逐步讓學(xué)生吸收二次函數(shù)表達式的知識，還將幾何題與實際應(yīng)用題相結(jié)合，學(xué)生不論是從空間思維，還是邏輯思維都得到了很好的提高。北師大版教材雖然前后只有一個以實際問題為題材的例題，但是首先是以自變量、因變量的知識復(fù)習(xí)為引入，讓學(xué)生新舊知識相結(jié)合。再次第二部分的探索和填圖題，讓學(xué)生自己思考，自己動手，自己分析來得到結(jié)果。充分發(fā)揮了學(xué)生的自主能動性，讓學(xué)生體驗了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程。

2 定量比較研究

2.1 例題難度模型的建立

對例題進行定性分析后，再進行定量分析，也就是進行難度分析。本文以鮑建生的數(shù)學(xué)題綜合難度模型為基礎(chǔ)進行改進，得到數(shù)學(xué)例題難度模型，以此來分析兩版本的例題難度。鮑建生的數(shù)學(xué)題綜合難度模型，將數(shù)學(xué)題的綜合難度等同于數(shù)學(xué)課程的綜合難度，分別將中英兩國8年級數(shù)學(xué)期望課程、實施課程和獲得課程的綜合難度進行了比較。其并不適用于單一例題的難度比較，并且鮑建生的模型對五個方面的水平層次的界定是針對中英8年級水平，并且發(fā)表時間為2002年。本文選定的是新課改后的九年級的教材。所以該模型也不能一成不變地運用于現(xiàn)在的教材，還需進行一定的修正。

鮑建生的模型將“探索”分為三層：識記、理解和探究，鮑的界定不能直接運用于研究，《數(shù)學(xué)課程標準》對7-9年級的教材要求學(xué)習(xí)素材的呈現(xiàn)力求體現(xiàn)應(yīng)用過程。因此，本文認為“理解”包括“理解”和“應(yīng)用”兩個層次。因而，“探究”的水平應(yīng)分為識記、理解、探求、應(yīng)用四個層次。鮑將推理分為無推理、簡單推理、復(fù)雜推理。《數(shù)學(xué)課程標準》在課程目標中要求學(xué)生要經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、證明等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點。此標準中對推理能力的要求又更近一層次了。而鮑建生對推理的界定太過粗，從簡單直接跳躍到復(fù)雜有點不太合適，所以推理可分為四個層次：無推理、簡單推理、中等難度推理、復(fù)雜推理。鮑建生的“知識含量”是指每一個題中包含綜合知識點的數(shù)量，并且他依據(jù)數(shù)量將“知識含量”的難度分為“單個知識點”、“兩個知識點”和“三個以上”三個對應(yīng)的層次。由于九年級的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容比八年級要多一些，要求也高一些。但是例題中的知識點很少有超過4個的。其難度可以分為“單個知識點”、“兩個知識點”、“三個知識點”和“四個以上知識點”。

2.2 具體例子難度分析

人教例3： 某工廠一種產(chǎn)品現(xiàn)在的年產(chǎn)量是20件，計劃今后兩年增加產(chǎn)量。如果每年都比上一年的產(chǎn)量增加x倍，那么兩年后這種產(chǎn)品的產(chǎn)量y將隨計劃所定的x的值而確定，y與x之間的關(guān)系應(yīng)該怎樣表示？

從5個難度因素依次進行分析，在“探究”方面，人教版教材問題2要求學(xué)生結(jié)合實際做出決策，屬于第四層次的“應(yīng)用”；在“背景”方面，例題所涉及的是社會生活常識，是第三層次；在“運算”方面，例題涉及到符號，但只是簡單的符號運算，是第三層次。在“推理”方面，例題的推理過程是：這種產(chǎn)品的原年產(chǎn)量是20件，（1）一年后的產(chǎn)量是20(1 + x)件，（2）再經(jīng)過一年后的產(chǎn)量是20(1+x)2件，（3）兩年后的產(chǎn)量為y = 20(1+x)2，即y = 20x2 + 40x + 20。通過三步的推理得到結(jié)果，屬于簡單推理過程，因此是第二層次；在“知識含量”方面，包含了四個知識點：倍數(shù)、代數(shù)式、完全平方公式、代數(shù)式化簡，因此是第四層次。

加上權(quán)重，按照難度公式計算，得到：

人教版問題2難度 = 0.24€? + 0.12€? + 0.18€? + 0.22€? + 0.24€? = 3.26即人教版問題2難度值為3.26。

根據(jù)上面的分析思路，對人教版教材和北師大版教材的其他例題進行難度分析，可以得到各題各因素難度層次值，并運用計算難度公式加權(quán)計算出兩個版本例題的難度值，得到結(jié)果如（表1）：

表1 人教版與北師大版教材例題難度分析

2.36由上表可知人教版教材三道例題的難度值分別為2.5、3.36、3.26，對其求平均值得到人教版例題難度均值為3.04；北師大版教材例題難度值分別為3.29、2.36，對其求平均值得到北師大版例題難度均值為2.825；如此對二次函數(shù)第一小節(jié)例題的分析后，得到的結(jié)果是：

人教版例題難度＞北師大版例題難度

雖然兩版本教材在運算、推理方面區(qū)別不大，但是在其他三個方面區(qū)別很明顯。說明探究、背景、知識含量對題目難度有著很大的影響作用。

3 討論

由以上研究可以看出，人教版的例題由淺入深，坡度緩和使學(xué)生更容易接受知識。而北師大版教材例題用復(fù)習(xí)舊知點的方式引入新的知識點，讓學(xué)生新舊知識進行建構(gòu)大大體現(xiàn)了新課標的理念。

綜合看來，兩個版本的教材各有千秋。不能片面地說哪一個版本的教材好，哪一個版本的教材不好。教學(xué)者應(yīng)當根據(jù)自己班上學(xué)生的數(shù)學(xué)成績平均水平來選擇課本的使用，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)好的班級可以使用難度值高一些的課本；喜歡探索、思考和自己動手的班級可以使用北師大版的教材。教學(xué)者應(yīng)該做到學(xué)生決定教材。

在這里本文只以二次函數(shù)第一小節(jié)為例進行了分析，目的是為廣大教學(xué)者提供一個分析模式，期望大家可以根據(jù)自己班級學(xué)生的特點，對自己所使用的教材運用數(shù)學(xué)例題難度模型來分析數(shù)學(xué)題目。課本中不同知識點的要求不同，相應(yīng)編排的例題也不同。只有廣大教師通過思考，通過比較，才能發(fā)現(xiàn)各個版本教材的優(yōu)缺點，并將其運用到實際教學(xué)工作中去，發(fā)揮教材的最大作用。

參考文獻

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