二次函數在閉區間上的最值問題分析與求解

摘 要 二次函數在閉區間上的最值問題，有四種類型：（1）定軸，定區間；（2）定軸，動區間；（3）動軸，定區間；（4）動軸，動區間。文章對此進行了探討。

關鍵詞 函數最值 分析 求解

中圖分類號：U174 文獻標識碼：A

Problem Analysis and Solving of the Most Value of Quadratic

Function on the Closed Interval

LIU Huiwen， LIU Ying

([1] Jiangsu Yancheng Technicians' College， Yancheng， Jiangsu 224002;

[2] Mathematics Department， Southeast University， Nanjing， Jiangsu 211189)

Abstract Quadratic function on the closed interval of the most value problem， there are four types: （1）fixed axis， the given interval; （2） fixed axis， dynamic range; （3） moving axes， fixed interval; （4）moving axes， fixed interval.The paper talks about this issue.

Key words most value of function; analysis; solving

二次函數是中學數學最基本、最重要的函數，是中學數學函數內容中的核心知識之一。特別是：二次函數最值，它已滲透高中數學過程各個環節，是歷年普通高考、對口高考重點、熱點考題。事實上，二次函數最值與拋物線開口方向、定義區間及對稱軸有一定關系：當三者確定時，結合圖象最值容易求出；倘若三者中有不確定因素，往往需要配方、分類討論與數形結合。特別是：對稱軸與定義區間的相互位置關系的討論，往往成為解決這類問題的關鍵。此類問題包括四種情形：（1）定軸，定區間；（2）定軸，動區間；（3）動軸，定區間；（4）動軸，動區間。

1 定軸，定區間

例1 已知實數， 滿足 + = 0，試求 + + 的最大值。

分析：本題關鍵是，思考將二元函數 + + ，化為一元函數。

解：由 = 得

問題轉化為求 = ，當∈[0，3]中的最大值，易求 = = 15。

例2 設， 是方程 + = 0的兩實根，求 + 的最值。

分析：本題主要是，設法將二元函數 + ，化為關于的一元函數。

解：由韋達定理知：

+ = 2· = + + 12

由2 + () = 0有兩實根可得它的 ≥0

即 = 4€?€?) = 24 + 72 + 96≥0，解得- 1≤≤4

問題轉化為求 = + + 12，當∈[-1，4]時的最值，易求 = = 32， = = 2。

2 定軸，動區間

例3 已知 = + 2在∈[， +1]上的最大、最小值分別為、，求、的解析式。

分析：本題一方面要弄懂、的涵義，另一方面學會分類、分別表示、。

解：對稱軸為 = 1，分4種情況討論（另解：最大值可以分2種情況，最小值可以分3種情況）：

（1） + 1≤1，即≤0時， = = + 2、

= ( + 1) = + 1

（2）≥1時， = ( + 1) = + 1、 = = + 2

（3）＜1＜ + 1，且＜ + ，即＜＜1時，

= ( + 1) = + 1、 = = 1

（4）＜1＜ + 1且≥ + 11，即0＜≤時，

= = + 2、 = = 1

綜上，

3 動軸，定區間

例4 求 = + 2在∈[0， 1]上的最小值為。

分析：本題與例3一樣，一方面要弄懂的涵義，另一方面分類找。

解：對稱軸 = t，分三種情況討論

（1）t≤0時， = = 0

（2）0＜t≤1時， = = 2

（3）1＜t時， = = 3

綜上，

4 動軸，動區間

例5 已知 = ，求 = + 的最小值。

分析：本題應根據條件，將二元函數 = + 化為一元函數。

解：將 = 代入中，得 = + = []2 +

由 = ≥0得≥

= []2 + 的對稱軸為 = 3 ，分兩種情況：

①≥＞0時，即0＜≤1時，= = + 12

②＜時，即＞1時，= = + 9

綜上，

上述四類，幾乎涵蓋了二次函數在閉區間上的最值中出現的所有可能性，不論是正向型還是逆向型，總體解題思路是根據對稱軸和區間的三種位置關系：（1）軸在區間右邊；（2）軸在區間左邊；（3）軸在區間上，分類討論并且結合二次函數圖像及性質求解。

鞏固訓練：

（1）設函數 = + + 3在區間[， +1]上的最小值為，求的解析式。

（2）已知函數 = + ，求函數在區間[0 ，1]最大值。

（3）已知函數 = + + 在區間[ ，1]有最小值0和最大值1，求， 的值。

（4）已知二次函數 = + + 1在區間[， 2]上的最大值為3，求實數的值。

（5）設為實數，函數 = 2 + ||，求的最小值。

（6）已知二次函數 = + (≠0)滿足下面兩個條件：

Ⅰ、 = Ⅱ、對任意∈，均有 =

①求的解析式；

②問是否存在實數， ，使是定義域和值域分別為[， ]和[2， 2]？如果存在，求出， 的值，如果不存在，請說明理由。

（7）求函數 = 在區間[0，2]上的最小值。

（8）求二次函數 = + 在區間[， 2]上的最大值。

（9）求函數 = 在區間[， +1]上的最小值為。

（10）函數 = + + 1在區間[， 2]上是最大值是4，求實數的值。

（11）已知函數 = + 在區間[， ]上的最大值為，最小值，求實數， 的值。

（12）設 = + + 3，當∈[， 2]時恒有≥，求的范圍。

變式一：若將≥改為≤時，其它條件不變，求的范圍。

變式二：若將≥改為＞時，其它條件不變，求的范圍。

變式三：若將∈[， 2]改為∈(， 2)時，其它條件不變，求的范圍。