利用導數證明不等式的幾種方法

摘 要 導數是高等數學中一個十分重要的概念，本文結合實例論述了利用導數證明不等式的幾種常用方法。

關鍵詞 導數 不等式 證明方法

中圖分類號：O17 文獻標識碼：A

Some Methods of Using Derivatives to Prove Inequality

JIANG Shihui， JIAO Keyan

(Department of Information Engineering， He'nan College of Finance Taxation， Zhengzhou， He'nan 451464)

Abstract Derivatives of higher mathematics in a very important concept， this paper discusses examples demonstrate the use of derivatives of several common methods of inequality.

Key words derivative; inequality; method of proof

不等式的證明在高等數學中也是比較常見的題型，不同類型的題目有不同的解法，當題目給出的函數可導時，利用導數求解不失為一種較好的方法，現將幾種常用方法介紹如下。

1 利用導數和函數的單調性證明不等式

這是不等式證明的一種重要方法，若題型為“求證：當時，，、可導；” = ，則其解題步驟是：令 = ，，其中 = = 0，從而將要證明的不等式“當時，”轉化為證明：“當時，＞”，接著，再證明＞0，即可得到“當時，＞”，所以當時，得證。

例1 當＞1時，證明不等式：＞。

證： 設 = ，顯然在[1，+∞)上連續，且= 0。

= = (1)

顯然，當＞1時，＞0，故是[1，+∞)上的增函數。

所以當＞1時，＞ = 0，即當＞1時，＞成立。

其實這個方法只對一部分不等式適用，即當＞時，＞，且 = 單調增加。而實質上，當 = ＞0時，上述題型即可得證，至于單調增加則是不必要的。故上述方法是證明不等式的一個充分不必要方法。

例2 證明：∈(0，1)時，＞。

證：設 = ，顯然在[0，1]上連續，且 =0， =1-2x。

顯然，當∈(0，1/2)時，＞0，故是(0，1/2)上的增函數。

所以，當∈(0，1/2)時，＞ = 0，即當x∈(0，1/2)時，＞成立；

當∈(1/2，1)時，＜0，故是(1/2，1)上的減函數。

所以，當∈(1/2，1)時，＞，即當∈(1/2，1)時，＞成立；

綜上所述，當∈(0，1)時，不等式：＞成立。

由例2我們可以發現，＞0在區間（0，1）內不恒成立，但仍然有不等式成立。這進一步說明例1的證明方法是充分而不必要的，深入思考，上述方法可以改進為：令 = ，，其中 = ≥0、 = ≥0，從而將要證明的不等式“當時，＞”轉化為證明：“當時，＞0”。

證明可分以下幾種情況：（1）若能證明＞0，則得到“當時，＞≥0”，即時，成立；（2）若能證明＜0，同樣可得到“當時，＞≥0”，即時，成立；（3）若存在點∈()，當時，＞0，則得到“當時，＞≥0；當時，＜0，則得到“當時＞≥0”，所以可得：時，。

2 利用lagrange中值公式

例3 證明：＜＜， (0＜＜)。

分析：把不等式可以改寫成()＜＜()。

可見“”是函數在區間[]兩端值之差，而()是該區間的長度，于是可對在[]上使用拉格朗日中值定理。

證：設 = ，則 = 。在[]上運用拉格朗日中值公式，有 = = ()，(＜ ＜)

又因＜＜，于是，有()＜＜()

即＜＜

該方法一般適用于證明“可導，求證：與的大小關系”問題。

3 利用導數和函數的最值

有些不等式的證明可轉化為討論的最大值（最小值）與0的關系問題，例如是函數在定義區間上的最大（小）值，則一定有＜（或≥），那么要證的不等式，可轉化為≤0（≥0）。

例4 證明不等式≤()。

證：設 = (1 )，則： = - = (1)

令 = 0，得唯一駐點 = 1，又當時，＞0；

當＞1時，＜0；從而是在(0，+∞)上的最大值，

即有≤ = 0，所以 (1 )≤0，

即：≤()。

4 利用函數圖形的凸性

我們知道，在()內，若＞0，則函數 = 的圖形下凸，即位于區間[， ]的中點處弦的縱坐標不小于曲線的縱坐標，即有： () ≤

其中， 為()內任意兩點。等號僅在 = 時成立。

例5 設＞0，＞0證明不等式 + ≥ ( + )且等號僅在 = 時成立。

分析：將不等式兩邊同時除以2，變形為：

≥

便可看出，左邊是函數 = 在兩點，處的值的平均值，而右邊是它在中點處的函數值，這時只需≥0即可得證。

證： 設 = ，即 = 1 + ， = ＞0，

故由[ + ] = ()得 ≥ ，

即 + ≥ ( + )，等號僅在 = 時成立。

總之，導數為證明不等式提供了不少有效的方法，使用時究竟用哪種方法更合適，很難給出一個肯定的回答，需要根據不等式的具體形式來加以選擇，有的可以用多種方法證明。要想掌握利用導數證明不等式的這些方法，就需要平時多練習，熟能生巧。

參考文獻

[1] 同濟大學數學系主編.高等數學[M].北京：高等教育出版社.

[2] 趙樹嫄.微積分(修訂本)[M].北京:中國人民大學出版社.

[3] 華東師范大學數學系編.數學分析[M].北京:高等教育出版社.