兩函數(shù)值的大小與其導數(shù)大小的關系

摘 要:討論了兩個函數(shù)值的大小與其導數(shù)大小的關系，并給出已知兩個可導函數(shù)的大小及兩個函數(shù)值在某一點的大小的條件下，兩個函數(shù)在一區(qū)間上的大小關系。

關鍵詞:函數(shù) 導數(shù) 可導 區(qū)間

中圖分類號:O1 文獻標識碼:A文章編號:1674-098X(2011)03(c)-0161-01

給定兩函數(shù)和，且和在區(qū)間上都可導。若時，，是否就有時，。若時，，是否就有時，。下面先看兩個例子:

例1:設，，。當時，有，但。

例2:設，，。

當時，有，但。

由上兩例知兩函數(shù)值的大小與其導數(shù)的大小沒有必然的聯(lián)系。即函數(shù)值大的不一定導數(shù)就大;導數(shù)較大的不一定函數(shù)值就大，由于函數(shù)的導數(shù)是函數(shù)的變化率，如果適當增加條件，兩函數(shù)值的大小與其導數(shù)的大小是否應有一定的聯(lián)系？下面通過定理來說明。

定理1:設和在上連續(xù)，在內可導且，若，則。

[證一]:若。

由于，故有。由于的任意性，所以有。

若，。

和在區(qū)間上滿足柯西中值定理條件，可得:

其中。由上式可得:

即

由于的任意性，所以有。

若，。

和在區(qū)間上滿足柯西中值定理條件，可得:

其中。由上式可得:

即

由于的任意性，所以有。證畢。

[證二]:設。

當時，

則函數(shù)在區(qū)間上嚴格遞增。即

即。

定理2:設和在上連續(xù)，在內可導且，若，則。

證:設。

當時，

則函數(shù)在區(qū)間上嚴格遞增。

當。

即。

由上可知，對于在某區(qū)間上可導的兩個函數(shù)和，如果在此區(qū)間上總有，且已知此區(qū)間某一點函數(shù)和的函數(shù)值大小關系，我們就可確定兩個函數(shù)和在此區(qū)間的子區(qū)間上的大小關系。

參考文獻

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