在數學教學中如何引導學生探究解題規律

隨著技工學校專業課程的改革，《數學》作為文化基礎課，課時數越來越少，內容也只講為專業服務的部分。在這樣的情形下，數學的知識內容、解題方法、思維范圍似乎都只能局限于課本所介紹的范圍之內。筆者認為，雖然技工學校學生的學習根基大多不牢固，接受能力普遍較弱，但如果適當地引導學生探究更加簡捷的解題方法，就能既激發了學生的學習興趣，又訓練了學生的思維能力，還掌握了一種較容易的解題方法。這樣事半功倍，效果良好。

筆者在給機械類專業的學生講授《解析幾何》中兩直線位置關系部分時，進行了一些探索，有些感悟，在此與大家共同分享。

我們來看一下學情狀況：學生已初步掌握了兩直線平行、垂直的條件，即：若直線l1、l2的斜率分別是k1、k2，則l1∥l2<=>k1=k2， l1⊥l2<=>k1.k2=-1。

學習中，學生認識到，求滿足平行或垂直條件的直線方程，關鍵是解決求直線斜率的問題。但是，是否只有“西上華山一條路”可走呢？還有沒有其他方法可以解決這類問題？教學中，筆者進行了如下嘗試。

一、夯實基礎，學會運用

首先，要求學生完成如下任務：

任務1：求經過點P(-2，3)，且與直線3x+y-4=0平行的直線方程。

任務2：求經過點P(4，1)，且與直線2x+4y+1=0垂直的直線方程。

常規解法為：

任務1：∵直線3x+y-4=0的斜率為k1=-3，∴所求平行線的斜率為k2=-3。又∵所求直線經過點P(-2，3)，∴所求直線方程為：y-3=-3(x+2)，即：3x+y+3=0。

任務2：∵直線2x+4y+1=0的斜率為k1=-，∴所求垂直線的斜率為k2=2。又∵所求直線經過點P(4，1)，∴所求直線方程為：y-1=2(x-4)，即2x-y-7=0。

學生在解題過程中，運用了三個知識點：由直線一般式求斜率的公式；兩直線位置確定的斜率關系；點斜式方程。在此，教師對學生需強調要熟記公式，要細心計算，尤其要注意兩直線垂直時的斜率計算。

由于運用的公式多，基礎弱、反應慢的學生會顧此失彼，并漸漸地失去信心。那么，怎樣才能激發、提升學生的信心呢？

二、觀察回味，探究規律

學生在完成任務時的心理各異，有輕松的——很簡單，沒趣！（基礎好的）；有欣喜的——終于完成了，可以接受（中等生）；有煩躁的——怎么里邊還有這么多名堂？（基礎弱的）。這時，教師要給學生點調味品，做一件各個層次學生都能做的事——觀察、質疑。

教師先引導學生觀察任務1，對比兩平行直線3x+y-4=0、3x+y+3=0間有什么相同和不同的地方。

學生會馬上找出x，y項相同（系數相等），常數項不同。

3x+y-4=0

不同

3x+y+3=0

能不能利用這個特點來完成任務1？帶動學生探究解題方法，歸納出了如下解法：

設所求平行線方程為3x+y+m=0，∵所求直線經過點P(-2，3)，∴3×(-2)+3+m=0，解得m=3。∴所求直線方程為：3x+y+3=0。

教師再引導學生觀察任務2，對比兩垂直直線2x+4y+1=0、2x-y-7=0間有什么相同和不同的地方。

學生會猶豫片刻，看不出來有什么特點。那么將方程2x-y-7=0兩邊同乘以2，恒等變形為4x-2y-14=0，再觀察，學生會得出x、y項系數交叉且有一項變號、常數項不同的結論。

2x+4y+1=0

對比 變號

4x-2y-14=0

能不能利用這個特點來完成任務2？經過一番討論，歸納出如下解法：

設所求垂直線方程為4x-2y+n=0，∵所求直線經過點 P(4，1)，∴4×4-2×1+n=0，解得n=-14。∴所求直線方程為：4x-2y-14=0，即2x-y-7=0。

可以看出，此種解法中，不需要記憶太多的公式。但是，這些方法適合所有同種類型的題嗎？

三、簡單推證，堅定信心

上述解題方法簡單、易記、易算、易接受。但數學是一門精確性的科學，它具有邏輯的嚴密性和結論的確定性或可靠性，僅憑我們的直覺，可以推廣這種方法嗎？

法國著名數學家龐加萊有句名言：“邏輯是證明工具，直覺是發明工具”。下面，我們就從邏輯上，進行簡單的推理論證。

直線l1：Ax+By+C=0的斜率為k1=-，設直線l2的方程為：y=k2x+b。

（1）若直線l1∥l2，則k2=k1=-，∴l2的方程為：y=-x+b，即Ax+By-bB=0。令常數-bB=m，則l2的方程為：Ax+By+m=0。

（2）若直線l1⊥l2，則k2=-=，∴l2的方程為：y=x+b，即Bx-Ay+bA=0。令常數bA=n，則l2的方程為：Bx-AY+n=0。

歸納結論：

與直線Ax+By+C=0平行的直線方程為Ax+By+m=0

與直線Ax+By+C=0垂直的直線方程為：Bx-Ay+n=0。

可見，我們的直覺猜想是正確的。實踐證明，這種方法解題快捷、正確率高，學生易于接受，在數學競賽中運用更可以節省時間。這也是我校多次參加廣州市屬技校數學競賽獲獎的原因之一。

有的學生易先入為主，會了第一種方法，就不想改變，筆者建議學生掌握自己易于接受的方法，不強求用統一的方法。

其實，這種方法許多高中教師都會教給學生，只不過技工類學校的老師并非都介紹此方法。教材中未介紹的方法，教師可在不增加難度的情況下，引導學生去尋找。比如由點到直線的距離公式、如何得出兩平行線之間的距離公式，教材中并未給出，這就給學生留下了較大的探究的空間。

筆者認為，引導學生大膽質疑，探究規律，培養學生的觀察力和思維能力，正是培養學生職業能力的一種途徑。

（作者單位：廣州從化市技工學校）