圓錐曲線第二定義在解題中的應用

　　摘 要：新課程改革要求在數學教學中構建數學知識體系，全面提高學生數學思維能力的運用。圓錐曲線是高中數學學習的內容，同時也是高考內容考查的重點。利用圓錐曲線第二定義解題，不僅可以提高解題效率，而且有利于培養學生分析問題和解決問題的能力。
　　關鍵詞：圓錐曲線；第二定義；應用
　　
　　現在高中教材中的圓錐曲線包括橢圓、雙曲線和拋物線三種。它們不僅是平面解析幾何教學中的重點和難點，而且也是高考壓軸題經常涉及和考查的對象。三種圓錐曲線的定義既是教材重要的基本內容，也是解決許多問題的一種方法。圓錐曲線的第二定義把焦點、準線和離心率巧妙地聯系起來，在解相關的題目時，如能巧妙運用第二定義，能起到化繁為簡的作用，使問題簡潔明快的得以解決，在解題中起到事半功倍的效果。
　　一、圓錐曲線的第二定義
　　圓錐曲線第二定義也稱其為統一定義，其定義為平面內與一個定點和一條定直線的距離之比為常數e（e＞0）的點的軌跡，其中定點是曲線的焦點，定直線是對應于焦點的準線，e為離心率。當e＞1時，軌跡為雙曲線；當e=1時，軌跡為拋物線；當0＜e＜1時，軌跡為橢圓。從定義中我們可以看出第二定義揭示了圓錐曲線之間的內在聯系，它刻畫了點與點的距離、點到線的距離之間的數量關系。它不僅是研究圓錐曲線圖像與性質的基礎，而且還在解決眾多的數學問題中，具有不可低估的特殊功能。
　　二、圓錐曲線的第二定義在解題中的應用
　　有關圓錐曲線的問題運算量大，求解過程復雜，如能正確、靈活地運用圓錐曲線的相關定義去分析解題，往往會使問題化繁為簡，提高解題思路的精確率。圓錐曲線的第二定義可應用于求解離心率、最值、軌跡問題以及相關的證明題。下面我們介紹其相關的一些應用。
　　1.證明焦半徑公式
　　已知圓錐曲線方程以及曲線上一點的橫坐標，求解這一點與圓錐曲線焦點之間的距離。我們常規的做法是利用圓錐曲線的方程求出焦點坐標，根據這點的橫坐標求解出這點坐標，然后利用距離公式得出結果。如果方程比較復雜，那勢必增加運算量。然而，利用第二定義能很容易得出結果，我們常稱其為焦半徑公式。
　　4.軌跡問題
　　圓錐曲線問題中有由曲線求方程， 以及由方程研究曲線的性質兩類基本問題。由曲線求方程也稱求軌跡方程是圓錐曲線中最基本也是最重要的問題，同時也是高考考查的重點與熱點問題。利用圓錐曲線的第二定義求軌跡方程就是根據動點滿足的條件特征，利用圓錐曲線的第二定義判斷該動點的軌跡是橢圓、雙曲線或拋物線，從而確定軌跡方程的形式，再根據題中的條件確定方程中的參數就可求出動點的軌跡方程。
　　例：如圖，正三棱錐S-ABC中，側面SAB與底面ABC所成二面角為α，動點P在側面SAB內，PQ⊥底面ABC于Q，且PQ=PS×sinα，則動點P的軌跡為（ ）
　　A.線段 B.圓弧 C.雙曲線一部分
　　D.拋物線一部分
　　解：如圖，過P作PD⊥AB于D點，連接ＤＱ，易知DQ⊥AB，∠PDQ=α，在Rt△PDQ中，有PD=PQ/sinα，又PQ=PSsinα，所以PD=PS，即Ｐ到定點與到定直線的距離相等（e=1），所以P點的軌跡為拋物線的一部分。
　　三、結束語
　　圓錐曲線在高考中占據了很大的一個比重，尤其每年的壓軸題都涉及圓錐曲線的性質，是區分成績的關鍵環節。圓錐曲線的第二定義從另外一個角度揭示了圓錐曲線上的每一個點的運動規律以及數量關系，在解析幾何問題中，運用圓錐曲線定義可以較好地解決焦半徑、準線、離心率等相關問題。運用圓錐曲線第二定義解題，通過數形結合，不僅能夠抓住問題的本質，而且還能避免問題的復雜性，有利于相關問題的巧妙解決。
　　參考文獻:
　　［1］程森旺.圓錐曲線定義在解題中的應用.高等教育，2010（25）：93-94.
　　［2］張秀英.淺談圓錐曲線定義解題.中國科技創新導刊，2010（32）：96-96.
　　（作者單位 趙標：安徽省五河縣第二中學 丁邦鳳：上海市嘉定區中光高級中學）
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文