模型化法——數學課改新思維

　　《新課標》中指出：數學可以幫助人們更好地探求客觀世界的規律，并對現代社會中大量紛繁復雜的信息作出恰當的選擇與判斷，同時為人們交流信息提供了一種有效、簡捷的手段。數學作為一種普遍適用的技術，有助于人們收集、整理、描述信息，建立數學模型，進而解決問題，直接為社會創造價值。為了培養大家的數學建模意識，提高大家數學建模能力，現就中學數學常見的幾種數學模型舉例如下，供大家參考。
　　一、一條直線同側兩點到直線上一點的距離之和最短問題
　　二、解直角三角形模型化法
　　例2.海上有一燈塔P，在它周圍3海里處有暗礁，一艘客輪以9海里/時的速度由西向東航行，行至A點處測得P在它的北偏東60°的方向，繼續行駛20分鐘后，到達B處又測得燈塔P在它的北偏東45°方向。問客輪不改變方向繼續前進有無觸礁的危險？
　　解析：本題型是航海問題，實際上就是解直角三角問題。要解決此題，首先要根據題意，畫出圖形，將航海問題抽象成純數學問題，建立起“解直角三角形的數學模型”。有無觸礁問題即是P到AB的距離是否大于3海里的問題。則可過P作PC⊥AB于C，在Rt△PAC中，求出PC與3作比較，顯然PC>3，沒有觸礁的可能，輪船不必改變航線。
　　三、概率中的模型化法
　　例3.小明拿著一個罐子來找小華做游戲，罐子里有四個一樣大小的玻璃球，兩個黑色，兩個白色。小明說：“使勁搖晃罐子，使罐子中的小球位置打亂，等小球落定后，如果是黑白相間地排列，就算甲方贏，否則就算乙方贏。”他問小華要當甲方還是乙方，請你幫小華出主意，并說明理由。（解略）
　　解析：這是一個實際生活中的游戲問題，要想解決這個問題，我們首先要建立數學模型，把它轉化為概率問題，然后通過列表或樹狀圖的方法表示游戲者所有可能出現的結果，使這個問題得到順利解決。
　　領悟整合：概率知識在實際生活中的應用很廣，下面一則例題就是用概率的知識來幫助我們做出正確的決策，關鍵是當你看到問題時，能在頭腦中建立概率模型，要有這種建模意識。
　　四、方程模型化法：
　　例4．下表是某一周甲、乙兩種股票每天的收盤價：（收盤價是指股票每天交易結束時的價格）
　　某人在該周內持有若干股甲、乙兩種股票，若按照兩種股票每天的收盤價計算（不計手續費、稅費等），該人賬戶上星期二比星期一多獲利200元，星期三比星期二多獲利1300元。試問該人持有甲、乙股票各多少股？
　　解析：根據表中提供的信息判斷甲股票星期二比星期一每股多獲利（12.5－12）元，乙股票每股多獲利（13.3－13.5）元，若設該人持有甲股票x股，乙股票y股，可得該人星期二比星期一多獲利［（12.5－12）x+（13.3－13.5）y］，又因為已知該人賬戶上星期二比星期一多獲利200元，可列方程（12.5－12）x+（13.3－13.5）y＝200，同理，可列方程（12.9-12.5）x+（13.9-13.3）y=1300，組成二元一次方程組解之即可。
　　說明：運用數學知識解決社會熱點問題和實際生活中的問題，是中考命題的一大熱點。解題的關鍵是讀懂圖表所提供的信息，理解題意，將實際問題轉化為數學問題。
　　（作者單位 山東省鄒平縣臺子中學）
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文