探究含電容器電路的瞬態過程

　　摘要：測量電容器充放電的實驗數據，將數據輸入Microsoft Office 的Excel電子表格，利用圖表功能生成充放電曲線，讓學生在探究的過程中獲得體驗，內化知識。再利用兩條曲線的相似性，外推出開關通斷的瞬間電容兩端電壓不能突變。
　　關鍵詞：電容器；瞬態；穩態；過程；外推；等效電源
　　中圖分類號：G633.7文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148(2011)7(S)-0055-3
　　
　　在含有電容器和電感的電路中，把電路中的電學量（如電壓、電流等）長時間保持不變時的狀態稱為穩態。如果，此時電路發生改變（如電鍵閉合或斷開），則電路中的電學量會向另一個穩態轉變，我們把這個過渡過程稱為瞬態過程。含電容電路的瞬態過程是教學的重點，也是教學的難點，形成難點的原因是學生對于瞬態過程缺少體驗，感性認識不足。筆者發現在教學中可以充分發揮探究實驗的作用，讓學生親身經歷實驗探究的過程，發現電容兩端電壓Uc、充放電電流i隨時間的變化規律，收到了較好的教學效果。
　　1 實驗電路與器材
　　電路：如圖1所示是研究電容充電與放電的實驗電路圖，將單刀雙擲開關撥到a端研究電容的充電過程，充電完成后撥向b端研究電容的放電過程。
　　器材：超級電容（耐壓5.5V，電容1F）、電阻箱（0~9999Ω）、萬用表（型號MF47）兩塊、單刀雙擲開關、1.5V的干電池兩節、手表一塊。
　　原理：充電過程中UC=E-iR
　　放電過程中UC=iR
　　測出充電電流與放電電流，輸入Microsoft Office 的Excel電子表格中，利用圖表功能畫出電流隨時間的變化圖像，就知道了電容兩端電壓的變化規律。
　　2 電容器的充電過程
　　實驗步驟：
　　①將兩節干電池串聯構成電源，并用萬用表的直流電壓檔測出電源的電動勢E，并記錄入表。
　　②用導線將電容短路，將電容可能存貯的電荷釋放干凈。
　　③按實驗電路圖把實驗器材連接好，并注意把電鍵撥在b端。
　　④把兩塊萬用表的量程選在直流電流的50mA檔上，電阻箱撥在R=55Ω上。
　　⑤由一位同學將開關撥向a端同時開始計時，5秒后發出第一次計錄口令（因為開始指針運動較快，計錄難度大，誤差也大），以后每過20秒鐘發出一次記錄口令，另外一位同學聽到口令后迅速讀出電流表的示數并完成記錄(此時如果用水筆記錄下指針所在的位置操作難度較大，且誤差太大，有條件的建議使用數字式萬用表可減小讀數難度)，直至充電電流幾乎不變。
　　⑥保持開關撥在a端不變。
　　⑦將記錄的數據填入下表1。
　　電源電動勢E=3.1V；電阻箱R=55Ω
　　⑧將表一的數據輸入EXCEL電子表格中，利用EXCEL的圖表功能得到電容充電過程中充電電流i與充電時間的關系圖像（圖2）：
　　數據及圖表分析：
　　不難看出電容的充電過程中充電電流在不斷地減小并有減小至零的趨勢，對于充電過程中的整個電路分析，限流電阻R兩端的電壓UR=iR，隨充電電流的減小，電阻兩端的電壓在不斷地減小，又由于電源的電動勢保持不變，所以電容兩端的電壓UC=E-iR在不斷地增大并有增大至電源電動勢E的趨勢。
　　從等效的觀點來看，電源電動勢不變時電路中的電流在不斷地減小相當于電路中的總電阻在不斷地增大，而限流電阻R是一個定值電阻，所以可以把充電過程中的電容器等效為一個阻值在不斷增大的電阻，當充電完成時，可以把電容器看作為一個阻值為無窮大的電阻，也相當于斷路。
　　3 電容器的放電過程
　　⑨經過足夠長的時間后（電容較大，充放電時間較長），可以進行電容的放電實驗，將電鍵開關撥到b端，重復步驟⑤即可。⑩將測量的實驗數據記錄入表2，輸入EXCEL，利用圖表功能畫出電容的放電過程圖像（圖3）。
　　數據及圖表分析：
　　從電容的放電圖像，可以看出放電電流也在不斷地減小，并有減小至零的趨勢。進一步觀察會發現，放電電流圖像與充電電流圖幾乎完全相同（原因何在，見外推）。
　　從等效的觀點來看，在整個電容的放電回路中，可把電容看成一個等效電源，其兩端的電壓UC=iR隨放電電流的減小而不斷減小，當電容放電完畢時，電容兩端電壓為零，放電電流也為零。
　　4 對充放電過程的實驗外推
　　外推一：從電容的充電圖像來看，充電電流正趨向于零，由于電容端電壓UC=E-iR，所以充電完畢時電容兩端的電壓 UC-=E（UC-表示開關撥向b之前瞬間的狀態值）。
　　外推二：比較充電過程與放電過程的實驗數據和it圖像，很容易發現實驗數據與圖像非常吻合，幾乎相同。原因在哪里呢？我們繼續從等效的觀點來看，對充電過程，我們換一個角度，將電源與電容的串聯部份等效為一個電源，有：
　　E等1=E-UC充
　　也可以將放電過程中的電容等效為一個電源，有：E等2=UC放（圖4）
　　由于E等1與E等2對同一個外電路（電阻箱的阻值在兩次實驗中沒變，又無其它電阻）作用效果相同（兩張圖像幾乎一樣），所以兩個等效電源在相同的時刻有相同的等效電動勢，外推至兩次實驗的初始值分析（由于實驗本身的原因，初始值無法通過實驗精確地測出，這里只能理論探究），充電過程之初，電容帶電量為零，所以：
　　UC充=QC=0
　　也就有：E等1=E-UC充=E
　　所以：UC+=UC放=E等2=E等1=E
　　(其中，UC+表示開關撥向b之后瞬間電容兩端的電壓)，顯然UC+=UC-=E，在電路發生改變的前后瞬間電容兩端的電壓保持不變，沒有發生突變。
　　這一點由UC=QC也是可證的，因為電容的帶電量Q不可能發生突變，電容C又是常量，所以UC不可能發生突變。
　　綜上，對含電容電路有以下性質：
　　（1）充電過程的電容可看作一個電阻，阻值在不斷增大；
　　（2）放電過程的電容可看作電源，電動勢在不斷減小；
　　（3）在電路發生改變的前后（如開關的接通與斷開），電容兩端的電壓不會發生突變。
　　5 應用
　　例（江蘇?2009?5） 在如圖5所示的閃光燈電路中，電源的電動勢為E，電容器的電容為C，當閃光燈兩端電壓達到擊穿電壓U時，閃光燈才有電流通過并發光，正常工作時，閃光燈周期性短暫閃光，則可以判定
　　A．電源的電動勢E一定小于擊穿電壓U
　　B．電容器所帶的最大電荷量一定為CE
　　C．閃光燈閃光時，電容器所帶的電荷量一定增大
　　D．在一個閃光周期內，通過電阻R的電荷量與通過閃光燈的電荷量一定相等
　　解析 電路中的閃光燈就是一個電子開關，當電容器兩端的電壓升高到一定值（設為U2）時，閃光燈導通，相當于開關閉合，電容器開始放電，由于閃光燈電阻極小，所以放電時間較短暫，放電使電容兩端電壓快速下降，當電壓下降到另一定值（設為U1）時，閃光燈截止，相當于開關斷開，電容器停止放電，同時開始充電，當電壓升到U2開始再次放電，如此重復，形成周期性的閃光（圖6）。
　　對于充電過程分析，電容與閃光燈并聯，此時閃光燈相當于開路，電容的端電壓：UC=E-iR，就算充電完成，i=0，電容兩端電壓也不可能大于E，另外，由于電容兩端的電壓在電路改變時不能發生突變，所以放電之初電容兩端的電壓也不可能大于E，電容端電壓變化如圖7所示。
　　通過以上分析可以知道，閃光燈的擊穿電壓U2可能等于E，也有可能小于E，但決不可能大于E，所以選項A、B是錯誤的。另外，放電過程中電容帶電量減少，所以選項C也是錯誤的。從周期性的特點可以知道，當電容兩端電壓再次達到最大時，電容帶電量也和上次電壓最大時一樣，電容內部是對外絕緣的，不可能有電荷通過，所以從等效的觀點看，一個周期內電容支路無電荷流過，所有電荷只流過了電阻R和閃光燈，選項A正確。
　　(欄目編輯王柏廬)