淺析一元二次方程習(xí)題中的隱含條件

　　許多一元二次方程的習(xí)題或考題中，常常會設(shè)置一些隱含條件作為考查點(diǎn)，如果同學(xué)們對知識理解不透徹或者分析不全面，就極易誤入題目設(shè)置的“陷阱”，導(dǎo)致錯解.下面就一元二次方程習(xí)題中的隱含條件進(jìn)行歸類分析.
　　1.隱含一元一次方程
　　例1：方程（1-k）x+（k+2）x+1=0有實根，則k的取值范圍是（ ）
　　A.k＜-8或k＞0且k≠1
　　B.k≤-8或k≥0
　　C.k＜-8或k＞0
　　D.k≤-8或k≥0且k≠1
　　錯解：∵方程有實根，∴△≥0，
　　則（k+2）-4（1-k）×1≥0，
　　得k≤-8或k≥0.
　　此時，學(xué)生會考慮方程為一元二次方程，即（1-k）≠0的條件，得k≠1的條件，故而錯選D.
　　錯解分析：此方程在形式上是一元二次方程，解題時也是根據(jù)一元二次方程的判別式，所以學(xué)生很容易忽視有實根，此方程也可能是一元一次方程這一隱含條件，如果考慮到這一條件，則只需k≤-8或k≥0，不必要求k≠1，正確答案為B.
　　2.隱含二次項系數(shù)不為0
　　例2：若方程kx+（k-1）x+1-k=0有兩個不相等實根，則k為（ ）
　　A.k＜或k＞1
　　B.＜k＜1
　　C.k＜或k≠0
　　D.k＞1或k＜且k≠0
　　錯解：∵方程有兩個不相等的實根，∴△＞0，
　　則（k-1）-4k（1-k）＞0，
　　解得k＜或k＞1.
　　此時學(xué)生認(rèn)為解畢，得出錯誤結(jié)論A.
　　錯解分析：
　　此題要求方程有兩個不相等的實根，則隱含有二次項系數(shù)不為0這一條件，即k≠0，所以正確選項為A.
　　3.隱含△≥0
　　例3：已知方程x+（2k+1）x+k-2=0的兩個實根的平方和等于11，試求k.
　　錯解：設(shè)方程的兩根是x、x.
　　則有x+x=-（2k+1）；xx=k-2
　　依題意有x+dade6e4a9c9d0e3bbd2c7737ae52df65x=（x+x）-2xx=［-（2k+1）］-2（k-2）
　　∴［-（2k+1）］-2（k-2）=11
　　k+2k-4=0
　　解得k=1，k=-3.
　　錯解分析：
　　上述解答，求出k=1或k=-3后，只要把k值代入方程中，就會得到x+3x-1=0與x-5x+7=0兩個方程，我們計算△會發(fā)現(xiàn)x-5x+7=0的△=-3＜0，故這一方程要舍去，即k=-3要舍去.所以k值只能取1.出錯的原因就在于忽視了一元二次方程有實根的△≥0這一隱含條件.
　　4.隱含二次根式條件
　　例4：已知關(guān)于x一元二次方程（1-2k）x-2x-1=0有兩個不相等的實數(shù)根，求k的取值范圍.
　　錯解：△=（-2）+4（1-2k）=-4k+8.
　　∵關(guān)于x一元二次方程（1-2k）x-2x-1=0有兩個不相等的實數(shù)根，
　　∴-4k+8＞0且1-2k≠0，
　　∴k＞2且k≠.
　　錯解分析：
　　錯誤的原因是忽視了二次根式的被開方數(shù)k+1≥0這一隱含條件.本題必須同時考慮1-2k≠0、△＞0、k+1≥0這三個條件，才能正確求解.正確結(jié)論是：-1≤k＜2且k≠.