偶然之中的必然

　　1.問題的提出
　　前不久，我在高三一輪復習中遇到這樣一道習題：
　　一束光線從點F（-1，0）出發(fā)，經(jīng)直線l:2x-y+3=0上點P反射后，恰好穿過點F（1，0）.
　　（1）求點F關(guān)于直線l的對稱點F′的坐標；
　　（2）求以F、F為焦點且過點P的橢圓C的方程；
　　（3）設直線l與橢圓C的兩條準線分別交于A、B兩點，點Q為線段AB上的動點，求點Q到F的距離與到橢圓C右準線的距離之比的最小值，并求取得最小值時點Q的坐標.
　　2.問題的解決
　　（1）設F′（a，b），則?2=-12?-+3=0，解之得a=-b=，∴F′點坐標為（-，）.
　　（2）∵2a=PF+PF=PF′+PF==2，∴a=，a=2.
　　又∵c=1，∴b=1，∴橢圓C的方程為+y=1.
　　（3）∵橢圓C的準線為x=±2，∴線段AB的方程為y=2x+3，-2≤x≤2.
　　設Q（t，2t+3）（-2≤t≤2），點Q到橢圓C右準線的距離為d，
　　則====
　　∵t∈［-2，2］且2-t≠0，∴2-t∈（0，4］，∴∈［，+∞）.
　　當=即t=-時，取得最小值，此時點Q的坐標為（-，）.
　　通過步步為營，層層遞進，尤其在解決第三小問時充分展現(xiàn)了解析幾何的本質(zhì)思想——用代數(shù)的方法研究幾何問題，問題到此已經(jīng)得到了圓滿解決，解法嚴謹而不失精彩.然而我沒有止步于此，而是通過觀察到的一個有趣的現(xiàn)象展開了一系列的思考和探究.
　　3.問題的延伸
　　我的疑問源于第三小問的答案：取得的最小值即為橢圓C的離心率，而此時點Q即為點P，這僅僅是巧合嗎？如果說這不是巧合的話，又應該用什么原理來解釋這個現(xiàn)象呢？
　　帶著這個疑問，我重新回顧了此題所呈現(xiàn)出的特殊幾何特征：P是直線l上與F、F距離之和最小的點，則以F、F為焦點且過點P的橢圓C與直線l有且只要一個公共點P，即橢圓C與直線l是相切的位置關(guān)系，因此線段AB上任取一點不是在橢圓外，就是在橢圓上（即為點P）.根據(jù)橢圓的第二定義可知，橢圓上的點到焦點和相應準線的距離之比為橢圓的離心率，所以=e=，根據(jù)結(jié)果很容易讓人得到這樣一個猜想：橢圓外的點到焦點和相應準線的距離之比大于橢圓的離心率；類似的，橢圓內(nèi)的點到焦點和相應準線的距離之比小于橢圓的離心率.
　　事實是不是這樣呢？
　　4.問題的探究
　　對于橢圓而言，定義是“源”，是根本依據(jù)，方程是“形”，是表達方式，為了驗證猜想正確與否，我從這兩個方面展開了探究.
　　4.1橢圓的定義
　　鑒于此題所要探索的結(jié)論形式上類似橢圓的第二定義，因此，探究首先從定義開始.
　　橢圓的第一定義：平面內(nèi)與兩定點F，F(xiàn)的距離的和等于常數(shù)（大于|FF|）的點的軌跡叫橢圓。換而言之，橢圓上的點與兩定點F，F(xiàn)的距離的和等于常數(shù)2a（2a＞|FF|）.
　　推論1：橢圓內(nèi)的點與兩定點F，F(xiàn)的距離的和小于常數(shù)2a，而橢圓外的點與兩定點F，F(xiàn)的距離的和大于常數(shù)2a.
　　證明：設點P為橢圓內(nèi)任意一點，延長FP與橢圓交于點Q，
　　則在△PQF中，PF＜PQ+QF，
　　∴PF+PF＜PF+PQ+QF=QF+QF=2a.
　　即橢圓內(nèi)的點與兩定點F，F(xiàn)的距離的和小于常數(shù)2a.
　　同理可證，而橢圓外的點與兩定點F，F(xiàn)的距離的和大于常數(shù)2a.
　　橢圓的第二定義：到定點的距離與到定直線的距離之比是常數(shù)e（定點不在定直線上），且e∈（0，1）的點的軌跡叫橢圓.也就是說，橢圓上的點到焦點和相應準線的距離之比為橢圓的離心率e.
　　推論2：橢圓內(nèi)的點到焦點和相應準線的距離之比小于橢圓的離心率，橢圓外的點到焦點和相應準線的距離之比大于橢圓的離心率.
　　證明：設點P（x，y）為橢圓內(nèi)任意一點，則由推論1知：PF+PF＜2a
　　即+＜2a
　　移項得＜2a-……①
　　∵2a-＞0
　　∴①式兩邊平方并化簡得a＜a-cx=c（-x）
　　∵點P在橢圓內(nèi)，∴-x＞0，∴＜.
　　即橢圓內(nèi)的點到焦點和相應準線的距離之比小于橢圓的離心率.同理可證，橢圓外的點到焦點和相應準線的距離之比大于橢圓的離心率.
　　通過對橢圓兩個定義的拓展和兩個推論的證明，我之前的猜想得到了證明，原題的答案絕不是巧合.
　　4.2橢圓的方程
　　橢圓的標準方程很有“數(shù)學美”，對稱、和諧.以焦點在x軸上的橢圓為例，它的標準方程為+=1（a＞b＞0），由曲線和方程的對應關(guān)系可知，橢圓上任意一點的坐標必然滿足此方程.
　　推論3：若點P（x，y）為橢圓+=1（a＞b＞0）內(nèi)一點，則必有+＜1，反之若點P（x，y）在橢圓+=1（a＞b＞0）外，則必有+＞1.
　　證明：設點P（x，y）為橢圓+=1（a＞b＞0）內(nèi)任一點，則橢圓上必存在Q（x，y）滿足x=x，同時∵點P在橢圓內(nèi)，∴|y|＞|y|，
　　同理可證，若點P（x，y）在橢圓+=1（a＞b＞0）外，則必有+＞1.
　　只要知道點與橢圓的位置關(guān)系，推論3就可以給出一個明確的代數(shù)式載體，然后就可以采用代數(shù)的方法解決相關(guān)的問題.利用推論3的結(jié)論可以很方便地證明推論2，推導如下：
　　設點P（x，y）為橢圓內(nèi)任意一點，則由推論3知：+＜1，∴y＜b（1-）.
　　∴＜=====e
　　∴橢圓內(nèi)的點到焦點和相應準線的距離之比小于橢圓的離心率.同理可證，橢圓外的點到焦點和相應準線的距離之比大于橢圓的離心率.
　　利用橢圓的標準方程和相關(guān)推論，得到了和之前相同的結(jié)論.
　　5.問題的本質(zhì)
　　回顧這個問題，我認為探究的價值在于兩方面.一方面，此題從幾何角度看實際上是平面區(qū)域“線性”規(guī)劃問題，只是此處的“線”非直線而已，被“線”分隔開的不同區(qū)域必然呈現(xiàn)不同的代數(shù)和幾何特征.另一方面，橢圓的定義和方程中給出的都是等式，而通過它們得到的推論都是不等式，等式和不等式是代數(shù)中最基本也是最重要的兩種關(guān)系，在探究的過程中這兩種關(guān)系呈現(xiàn)出的相互印證和統(tǒng)一體現(xiàn)了數(shù)學的嚴謹之美.