含參數的一元二次不等式的解法

　　摘 要： 本文用確定邊界的方法，以數軸形式輔助學生解決含參數的一元二次不等式，將難問題簡單化處理.
　　關鍵詞： 含參數不等式 數軸 定界
　　
　　含參數不等式的解決涉及方程的觀點及分類討論的思想，長期以來一直是高考的一大熱點.而大多數不等式通常可以轉化為一元二次不等式.一般地，一元二次不等式的解集常與以下因素有關：（1）二次項系數的正負；（2）判別式的符號;（3）兩根的大小比較.其中二次項系數直接影響解集最后的形式，判別式的符號關系不等式對應的方程是否有解，而兩根的大小關系到解集最后的形式.怎樣把以上幾點運用到解題中呢？這里給大家介紹一種用數軸輔助解題的方法.
　　例1.解不等式（ax-2a）（x+1）＞0
　　分析：這里的二次項系數與a有關，不等式可整理成a（x-2）（x+1）＞0，當a≠0時，兩根已明確為-1，2，因此無須討論另兩個因素.
　　解：不等式整理可得a（x-2）（x+1）＞0.
　　這里參數與二次項系數的關系可用以下圖表示：
　　當a＞0時，（x-2）（x+1）＞0，解集為{x|x＜-1或x＞2};
　　當a=0時，解集為?覫;
　　當a＜0時，（x-2）（x+1）＜0，解集為{x|-1＜x＜2};
　　例2.解不等式x-2（a+1）x+1＜0
　　分析：此式二次項系數為1，再求Δ試試.
　　這里Δ=4a+8a無法確定正負，故需討論它，當Δ＞0時，
　　x==（a+1）+
　　x==（a+1）-
　　x＞x關系明確.
　　解：Δ=4a+8a（易求得Δ＞0時，a＜-2或a＞0）
　　將a與Δ關系作圖如下：
　　當-2≤a≤0時，Δ≤0，解集為?覫;
　　當a＜-2或a＞0時，Δ＞0，此時兩根分別為x=（a+1）+，x=（a+1）-，x＞x.
　　故不等式的解集為{x|a+1-＜x＜a+1+}.
　　例3.解不等式56x-ax-a＞0
　　分析：此式二次項系數也不必討論，56x-ax-a=56（x-）（x+），因此不等式重點落在討論兩根大小上.若＞-?圯a＞0，故兩根大小以0為分界.
　　解：不等式可整理為（x-）（x+）＞0，
　　則方程（x-）（x+）=0的兩根為x=，x=-.
　　其關系用數軸表示如下：
　　當a＜0時，＜-，不等式的解集為x|x＜或x＞-;
　　當a=0時，原不等式為56x＞0，不等式的解集為{x|x≠0};
　　當a＞0時，＞-，不等式的解集為x|x＜-或x＞.
　　例4.解不等式ax-（a+1）x+1＜0
　　分析：首先二次項系數含有參數，于是我們得討論二次項系數的分界為0.當a≠0時，對應方程兩根為，1.
　　-1=＞0?圯0＜a＜1，故0＜a＜1時＞1.
　　于是我們找到a的兩個分界點0，1.
　　解:用數軸表示如下：
　　對著上圖解題如下：
　　當a＜0時，整理得（x-）（x-1）＞0，＜1，故不等式解集為x|x＜或x＞1;
　　當a=0時，整理得-x+1＜0，解集為{x|x＞1};
　　當0＜a＜1時，整理得（x-）（x-1）＞0，＞1，故不等式解集為x|1＜x＜;
　　當a=1時，整理得x-2x+1，解集為?覫;
　　當a＞1時，整理得（x-）（x-1）＜0，＜1，故不等式解集為x|＜x＜1.
　　相信通過上題同學們應該看清處理這種題目的思路與思想方法，先找出由三個因素決定的討論分界點，在數軸上標出來，而分類討論也就按這些分界點分類，每一種情況的解決再從頭開始，注意分界點的討論不要掉，最后通過圖像寫出解集，就不會出錯。那么再復雜一點的題，我們也可用此法解決.
　　例5.解不等式ax-2x+1＞0
　　分析：此題首先由a的正負決定二次項系數，再進一步由Δ=4-4a＞0得a＜1，而兩根
　　x==，x==，x-x=＞0，得0＜a＜1.
　　故這里找到兩個分界點為0與1.
　　解：用數軸表示如下：
　　當a＜0時，x-x+＜0，Δ＞0兩根＞，
　　故不等式的解集為x|＜x＜;
　　當a=0時，-2x+1＞0，解集為x|x＜;
　　當0＜a＜1時，x-x+＞0，Δ＞0，兩根＜，
　　故不等式的解集為x|＜x＜;
　　當a=1時，x-2x+1＞0，Δ=0，解集為{x|x≠1};
　　當a＞1時，x-x+＞0，Δ=0，解集為R.
　　在這樣的關于參數的數軸表上，多層因素分類討論的關系一覽無余.相信對于同學們處理此問題一定會大有幫助.