蒙特卡洛計算方法及其在定積分求解中的應用

　　摘 要： 蒙特卡洛數學計算方法是一種新型的計算方法，本文介紹了蒙特卡洛數學計算方法的歷史起源及其原理，并對它在積分求解中的應用進行了分析.
　　關鍵詞： 蒙特卡洛 隨機數 積分求解 計算方法
　　
　　蒙特卡洛（Monte Carlo）方法是二十世紀四十年代中期提出的，一方面它的提出是科學技術發展和電子計算機發明的必然產物，另一方面它是以概率統計理論為指導的一類新型計算方法，目前它已成為非常重要的數值計算方法.
　　一、蒙特卡洛計算方法原理
　　與蒙特卡洛方法相反的一類方法稱為確定性計算方法，確定性計算方法是按照規定的算法步驟執行，每次得到的結果一定是相同的［１］.與此不同，蒙特卡洛方法建立在隨機理論的基礎上，利用概率論中的大數定律穩定性理論進行運算.所以蒙特卡洛方法是一種大數收斂的概率計算方法，它依據概率知識建立模型、借助現代計算機技術來實現算法，大量隨機仿真形成真實值的逼近.
　　二、蒙特卡洛計算方法在定積分中的應用
　　根據覃永晝在“在數學分析課程的概念教學中滲透數學建模思想”一文中對定積分定義的圖解解析［２］，我們可以很清晰地看出定積分的意義就是指被積函數在積分區間的面積代數和.但是由于被積函數的多樣性，導致其在積分區間上的取值大小不一，無法按照規則的圖形來求解面積.下面我們利用蒙特卡洛計算方法將其轉化為規則圖形來計算［３］.
　　假定我們要計算如下定積分：
　　首先我們進行嚴格的數學計算，便于后面與蒙特卡洛計算方法所得結果形成對比：已知e的原函數是e，那么定積分值就是：e-e=6.38905609893065.我們可以在Matlab中輸入以下代碼進行精確計算：exp（2）-exp（0），這個值是此定積分的真實值.
　　下面進行蒙特卡洛計算上述定積分，其MATLAB代碼如下：
　　N=500；
　　x=unifrnd（0，2，N，1）；
　　mean（2*exp（x））
　　上述三條語句完整實現了蒙特卡洛計算上述定積分步驟.第一條語句是設定了停止條件，共做N次Monte Carlo模擬.第二條語句實現了在積分區間上均勻產生N個隨機數.第三條語句實現蒙特卡洛計算方法的面積逼近.對N設置不同的值，觀察所得蒙特卡洛計算方法定積分值，如表1所示，我們可以發現：當不斷增大N值時，所得結果越來越接近真實值.
　　四、蒙特卡洛計算方法性質
　　蒙特卡洛計算方法依據概率統計理論，具有統計特性，主要表現在以下三個方面.
　　1.蒙特卡洛計算方法具有隨機性、不確定性.即每次運行結果都會不一樣，因為計算機產生隨機數并不是可以重現的.
　　2.蒙特卡洛計算方法具有統計穩定性。雖然每次運行產生隨機數是不一樣的，但是隨機數的概率分布是一樣的，所以蒙特卡洛計算方法可以滿足概率統計的穩定性.
　　3.隨著隨機數數量增加，蒙特卡洛計算方法所得結果會更加逼近真實值，這就是我們所講的依概率收斂到真實值意義.
　　
　　參考文獻：
　　［1］方再根.計算機模擬和蒙特卡洛方法［M］.北京：北京工業學院出版社，1988.
　　［2］覃永晝，在數學分析課程的概念教學中滲透數學建模思想，考試周刊，2011，（8），55-56.
　　［3］張弛，試論蒙特卡洛方法在人力資源管理指派問題中的應用，科技信息，專題論述，387.
　　［4］薛定宇，陳陽泉.高等應用數學問題的MATLAB求解［M］.北京：清華大學出版社，2008.