巧用圓

　　1.背景
　　高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)已接近尾聲，本以為學(xué)生解題水平達(dá)到了一個(gè)較高層次，但昨天作業(yè)中的一道題卻讓我內(nèi)心糾結(jié)，本來以為“掃盲”的題，卻出現(xiàn)了很高的錯(cuò)誤率.問題究竟出在哪里呢？于是，我決定在課堂上和同學(xué)們共同探討錯(cuò)誤的根源.
　　2.課堂對(duì)話實(shí)錄
　　問題1.由直線y=x+1上的一點(diǎn)向圓（x-3）+y=1引切線，則切線長的最小值為?搖 ?搖?搖?搖.
　　生1：因?yàn)橐笄芯€長最小，所以猜想當(dāng)切線與直線垂直時(shí)距離最小，故計(jì)算得出切線長最小值為2.
　　師：你的猜想有沒有根據(jù)呢？
　　生1：反正感覺有垂直就會(huì)取到最小值.
　　生2：我的結(jié)果和他不一樣，我這樣做的：設(shè)直線上任意一點(diǎn)A（x，x+1），則切線長為==，故當(dāng)x=1時(shí)，切線長的最小值為.
　　師：大家覺得怎樣？運(yùn)用了怎樣的思想方法？
　　這時(shí)許多同學(xué)紛紛點(diǎn)頭，感覺有理有據(jù)，是典型的利用函數(shù)思想方法求最值.
　　師：生1的方法雖然有問題，但能不能修改呢？
　　生3：我覺得可以先求圓心到直線的距離.由題意知，要使切線長最小，只要使該點(diǎn)到圓心距離最小，即為圓心到直線距離.如圖1，圓心到直線距離d==2，故切線長為=.
　　師：這樣解題的依據(jù)是什么？
　　絕大部分同學(xué)恍然大悟，異口同聲：圓切線的幾何性質(zhì)！
　　師：有誰能比較一下剛才的兩種解法？
　　生1：我知道自己錯(cuò)在什么地方了，不能憑感覺瞎猜，解題要有依據(jù).我比較兩種解法，后者突出了圓的幾何性質(zhì)，把原來直線上的動(dòng)點(diǎn)與圓上的動(dòng)點(diǎn)這兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)距離問題轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)到定直線的距離，使得解法更直觀更簡(jiǎn)潔.
　　師：通過剛才的一番討論，我們終于搞清了錯(cuò)誤的原因.在本題中，主要是突出了圓心的重要作用，此種方法的應(yīng)用還有很多，請(qǐng)看如下問題.
　　問題2.已知圓C：（x+2）+y=4，相互垂直的兩條直線l、l都過點(diǎn)A（-1，0）.l交⊙C于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，l交⊙C于G，H兩點(diǎn)，
　　（1）求四邊形EGFH面積的最大值；
　　（2）求l、l被圓C所截得弦長EF與GH之和的最大值.
　　三分鐘后，生4舉手求助，看到他的草稿紙密密麻麻，于是拿到實(shí)物投影下.
　　同學(xué)們驚呼：哇！
　　原來他是設(shè)直線斜率聯(lián)列方程，用代數(shù)方法求弦長，一番計(jì)算后，沒有信心做下去了.
　　師：看來不是所有的題用函數(shù)思想都能順利解決的.不妨作圖觀察一下，能否借助于圓的幾何性質(zhì)，參照問題1的方法來求解呢？
　　生5：剛才是切線長，現(xiàn)在是弦長，不一樣啊？
　　師：弦長可以轉(zhuǎn)化為什么線段的長度？
　　生5：難道又是圓心到直線的距離？
　　生6：設(shè)圓心C到l的距離為d，到l的距離為d，弦長分別為L，L，利用垂徑定理和勾股定理得（）=r-d，（）=r-d.這樣我就把動(dòng)弦長轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)到直線的距離了，可是……
　　師：很好，思路不錯(cuò).可是也在動(dòng)，有什么是不動(dòng)的嗎？
　　生5：由圖2看出，兩個(gè)垂足和圓心及定點(diǎn)構(gòu)成矩形，且對(duì)角線長度恒定，所以必定有：d+d=CA=1，故（）+（）=2r-（d+d）=8-1=7，即L+L=28.設(shè)四邊形EGFH面積為S，則S=LL，由于L+L=28，利用基本不等式可得LL≤=14，故四邊形EGFH面積最大值為7.
　　師：大家感覺怎樣？
　　生6：總的來說還是“化動(dòng)為定”，不過這里還運(yùn)用了基本不等式的知識(shí).
　　師：好的，所以我們?cè)诙啅?fù)習(xí)中要加強(qiáng)對(duì)知識(shí)之間相互聯(lián)系的認(rèn)識(shí)……
　　話音未落，生7又舉起了手.
　　生7：我第二問也做好了.要求L+L的最大值，又L+L=2（+）=2（+），其實(shí)也是用基本不等式≤（a，b≥0），可得：L+L≤4=4=2，故弦長之和最大值為2.
　　生7的一番話語之后，課堂再次熱鬧起來.
　　師：有誰對(duì)該題小結(jié)或提煉一下嗎？
　　生8：該解法避開聯(lián)列方程等繁瑣的手段，通過研究圓心到直線的距離的性質(zhì)來解決兩條動(dòng)弦長的和的最值問題，體現(xiàn)了“化動(dòng)為定”的思想.
　　師：總結(jié)得非常到位.該題看似與問題1不同，但他們有相同的“根基”，即都是解決與圓有關(guān)的動(dòng)線段問題，那么我們?cè)诮鉀Q此類問題時(shí)要利用好圓心“化動(dòng)為定”.
　　師：如果將圓與圓錐曲線知識(shí)相結(jié)合，我們又該如何下手呢？請(qǐng)看下面挑戰(zhàn)大家“智慧”的兩道高考題.
　　問題3.（2009重慶卷文）已知以原點(diǎn)O為中心的雙曲線的一條準(zhǔn)線方程為x=，離心率e=.
　　（Ⅰ）求該雙曲線的方程；
　　（Ⅱ）如圖3，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-，0），B是圓x+（y-）=1上的點(diǎn)，點(diǎn)M在雙曲線右支上，求|MA|+|MB|的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).
　　第一問解答略，雙曲線的方程為x-=1.
　　師：要使|MA|+|MB|最小，但|MA|，|MB|都是動(dòng)線段，怎樣“化動(dòng)為定”呢？
　　生9：記得有過這樣一道題，在x軸上找一點(diǎn)M，使該點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)A（-1，2），B（3，5）的距離之和最小，即求|MA|+|MB|的最小值，好像很像啊！
　　師：很好，那么在生9所說的那道題里，點(diǎn)A，點(diǎn)B是定點(diǎn)，而我們題目里點(diǎn)B是動(dòng)點(diǎn)，怎樣轉(zhuǎn)化呢？
　　生10：可不可以轉(zhuǎn)化到圓心C的距離呢？如果|MA|+|MC|最小，只要減去半徑就是|MA|+|MB|的最小值了呀!
　　師：有思想。具體如何“操作”呢？剛才生9類比的很有道理，我們是如何轉(zhuǎn)化折線段長度之和的？
　　生11：利用三點(diǎn)共線.可以分別考慮利用雙曲線的定義轉(zhuǎn)化線段|MA|，利用動(dòng)點(diǎn)到圓心距離來轉(zhuǎn)化線段|MB|：如圖4，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，0），則點(diǎn)A、D為雙曲線的焦點(diǎn)，|MA|- |MD|=2a=2，所以|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD|.由于B是圓x+（y-）=1上的點(diǎn)，其圓心為C（0，），半徑為1，故 |BD|≥|CD|-1=+1，從而|MA|+|MB|≥2+|BD|≥+1.
　　當(dāng)M，B在線段CD上時(shí)取等號(hào)，此時(shí)|MA|+|MB|的最小值為+1.
　　又直線CD的方程為y=-x+，因點(diǎn)M在雙曲線右支上，故x＞0.
　　由方程組4x-y=4y=-x+，解得x=，y=.
　　所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，.
　　問題4.已知圓A:（x-1）+y=4與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)B，過B的弦BE與y軸正半軸交于點(diǎn)D，且2BD=DE，曲線C是以A，B為焦點(diǎn)且過點(diǎn)D的橢圓，
　　（1）求橢圓的方程；
　　（2）點(diǎn)P在橢圓C上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在圓A上運(yùn)動(dòng)，求PQ+PD的最大值.
　　由于問題3與問題4可以采用類比的方法來解決，故讓同學(xué)們獨(dú)立完成.
　　（五分鐘后）實(shí)物投影同學(xué)們的答案如下：
　　第一問解答略，橢圓方程為+3y=1.
　　要使PQ+PD最大，只要使PA+PD最大，只要使2a-PB+PD最大，只要使PD-PB最大，當(dāng)P，B，D三點(diǎn)共線時(shí)（如圖5）.
　　（PQ+PD）=（PA+PD）+r=（2a-PB+PD）+r=（PD-PB）+2a+r=BD+2a+r=3a+r=2+2（其中a為橢圓長半軸長，r為圓半徑）.
　　3.學(xué)習(xí)反思
　　課后，許多同學(xué)找了很多以前沒有解決或還心存困惑的問題.大家欣喜地發(fā)現(xiàn)，通過這堂課的探究，找到了解決此類問題的一般方法.同學(xué)們?cè)诟呷亩啅?fù)習(xí)中不僅僅是空洞的羅列知識(shí)點(diǎn)，做大量的題目或者是一味地追求所謂的應(yīng)試技巧，對(duì)于我們同學(xué)來說最重要的是學(xué)會(huì)總結(jié)方法，提煉思想.著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生把讀書過程歸結(jié)為“由薄到厚”“由厚到薄”，當(dāng)你對(duì)書的內(nèi)容真正有了透徹的了解，抓住了全書的要點(diǎn)，掌握了全書的精神實(shí)質(zhì)后，讀書就由厚變薄了，愈是懂得透徹，就愈有薄的感覺.我想我們的二輪復(fù)習(xí)過程正是要讓書本“由厚到薄”的過程，即用一種“收斂、整合”的態(tài)度來認(rèn)識(shí)整個(gè)高中數(shù)學(xué)知識(shí)，這樣我們才能學(xué)得有勁，學(xué)得輕松，才能真正做到靈活運(yùn)用，提高高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)的有效性.