正弦定理和余弦定理在解題中的應(yīng)用例析

眾所周知，正弦定理和余弦定理是數(shù)學(xué)中解三角形時(shí)常用的兩個(gè)定理。學(xué)生在學(xué)習(xí)物理的過(guò)程中也會(huì)經(jīng)常遇到解三角形的問(wèn)題，學(xué)會(huì)運(yùn)用正弦定理和余弦定理往往是解決這一類問(wèn)題的關(guān)鍵。筆者就相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行歸類例析。

1 在運(yùn)動(dòng)學(xué)中的應(yīng)用

例1 如圖1所示，在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距A處（3-1）海里的B處有一艘走私船。在A處北偏西75°方向，距A處2海里的C處的我方緝私船，奉命以103海里／小時(shí)的速度追截走私船，此時(shí)走私船正以10海里／小時(shí)的速度，從B處向北偏東30°方向逃竄。問(wèn)：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？

解析 設(shè)緝私船應(yīng)沿CD方向行駛t小時(shí)，才能最快（在D點(diǎn)）截獲走私船，則CD=103t海里，BD=10t海里

由余弦定理得：

BC2=AB2+AC2-2AB#8226;AC#8226;cosA

解得：BC=6

由正弦定理得：

BCsinA=ACsin∠ABC

sin∠ABC=AC#8226;sinABC

=2sin120°6=22

得∠ABC=45°，則B點(diǎn)在C點(diǎn)的正東方向上，考慮∠CBD=120°，再由正弦定理得：

BDsin∠BCD=CDsin∠CBD

sin∠BCD=BD#8226;sin∠CBDCD

=10t#8226;sin120°103t

=12

∴∠BCD=30°，則∠D＝30°

所以，緝私船沿北偏東60°方向行駛才能最快截獲走私船。

2 在力學(xué)中的應(yīng)用

例2 將一個(gè)20N的力進(jìn)行分解，其中一個(gè)分力的方向與這個(gè)力成30°角，如圖2甲所示，試討論：（1）另一個(gè)分力的大小不會(huì)小于多少？（2）

若另一個(gè)分力大小是203N，則已知方向的分力大小是多少？

解析 （1）由三角形定則得：如圖2乙所示，當(dāng)F2與F1垂直時(shí)F2最小，F(xiàn)2=10N

(2)當(dāng)另一個(gè)分力F2=203N時(shí)，由于203N＞10N，根據(jù)力的三角形定則，可以組成兩個(gè)不同的三角形，如圖2丙所示。

由正弦定理得：

Fsin∠OAB=F2sin∠AOB

∴∠OAB=60°或∠OAB=120°

解得：F1=203N，F(xiàn)1′=403N

或由余弦定理得：

cos30°=F2+F12-F222F#8226;F1

解得：F1=203N，或F1=403N

3 在電磁學(xué)中的應(yīng)用

例3（2007年寧夏理綜第24題） 在半徑為R的半圓形區(qū)域中有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的方向垂直于紙面，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。一質(zhì)量為m，帶有電量q的粒子以一定的速度沿垂直于半圓直徑AD方向經(jīng)P點(diǎn)（AP=d）射入磁場(chǎng)（不計(jì)重力影響）。(1)如果粒子恰好從A點(diǎn)射出磁場(chǎng)，求入射粒子的速度。(2)如果粒子經(jīng)紙面內(nèi)Q點(diǎn)從磁場(chǎng)中射出，出射方向與半圓在Q點(diǎn)切線方向的夾角為φ（如圖3甲）。求入射粒子的速度。

解析 （1）由于粒子在P點(diǎn)垂直射入磁場(chǎng)，故圓弧軌道的圓心在AP上，AP是直徑。

設(shè)入射粒子的速度為v1，由洛倫茲力的表達(dá)式和牛頓第二定律得：qv1B=mv12d/2

解得：v1= qBd2m

(2)設(shè)O′是粒子在磁場(chǎng)中圓弧軌道的圓心，連接O′Q，設(shè)O′Q=r。

由幾何關(guān)系得：∠OQO′=φ，OO′=R+r-d

由余弦定理得：

OO′2=R2+r2-2Rrcosφ

解得：r=d(2R-d)2［R(1+cosφ)-d］

設(shè)入射粒子的速度為v，由qvB=mv2r

解得：v=qBd(2R-d)2m［R(1+cosφ)-d］

4 在光學(xué)中的應(yīng)用

例4 如圖4所示，用折射率為n的透明且均勻的介質(zhì)，做成內(nèi)、外半徑分別為a和b的空心球，當(dāng)一束平行光射向此球殼的外表面直接經(jīng)兩次折射恰好完全射入空心球殼內(nèi)，則此平行光束在入射前的橫截面積多大?

解析 設(shè)入射光線AB經(jīng)球殼外表面折射后BE光線恰好在球殼內(nèi)表面發(fā)生全反射，臨界角為C。從圖中可知AB光線和其對(duì)稱光線之間的光線一定都能進(jìn)入球殼內(nèi)，由幾何關(guān)系知R=bsini。

在三角形OBE中，由正弦定理得：

asinr=bsin(180°-C)=bsinC

又sinC=1n，n=sinisinr

則R=bsini=a

所以平行光束的橫截面積S=πR2=πa2

正弦定理、余弦定理在物理中的應(yīng)用是數(shù)學(xué)方法在物理中應(yīng)用的一個(gè)縮影，物理學(xué)中涉及的數(shù)學(xué)方法有很多，且大多是數(shù)學(xué)的基本方法，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決物理問(wèn)題是一項(xiàng)重要能力。普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)明確將“應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問(wèn)題的能力”作為考查的“五大能力”之一。只有具備良好的數(shù)學(xué)知識(shí)，掌握物理中的數(shù)學(xué)方法，才能更好地學(xué)習(xí)物理。

(欄目編輯陳 潔)

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