一道力學實驗習題的三種解法

摘要：本文分別運用作圖法、共點力平衡法、解析法三種方法，分析了《驗證力的平行四邊形定則》這一實驗中的一道習題，供讀者們參考。

關鍵詞：實驗；平行四邊形定則；作圖法；共點力平衡法；解析法

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148(2011)4(S)-0057-2

在《驗證力的平行四邊形定則》這一實驗的習題中，不少參考資料中都出現了如下的一道題目：

如圖1所示，用A、B兩彈簧測力計拉橡皮條，使其伸長到O點(α+β＜π2)，現保持A的讀數不變，而使夾角減小，適當調整彈簧測力計B的拉力大小和方向，可使O點保持不變，這時：

（1）B的示數應是（ ）

A．一定變大

B．一定不變

C．一定變小

D．變大、不變、變小均有可能

（2）夾角β的變化應是（ ）

A．一定變大

B．一定不變

C．一定變小

D．變大、不變、變小均有可能

筆者在翻閱相關資料以及在網上搜索查找相關的解題方法時，發現所提供的方法幾乎相同，即通過作平行四邊形，從圖中找到相關的結論。本文稱之為：

方法一、作圖法

該方法的具體分析過程如下：

“使O點保持不變”即表示A、B拉力的合力的大小和方向不變，則以O為圓心，以A的拉力大小為半徑畫圓弧如圖2所示。根據平行四邊形定則，按題意α減小，可知B的拉力的大小和方向均發生相應的變化，由圖2可知B的拉力的大小和角度β都將變小，故(1)、(2)均選C。

該方法形象、簡潔，容易推導出結果。需要特別強調的是，要注意理解題目中給出“α+β＜π2”這一條件。該條件保證了當α在變小時，所畫出的圖中分別以FA2和FB2、FA3和FB3……等為鄰邊構成的平行四邊形都在以FA1和FB1為鄰邊構成的平行四邊形內部，從而可以根據畫出的圖形判斷出“B的拉力的大小和角度β都將變小”這一結論。

除了以上方法外，筆者在此提供另外兩種分析方法，供讀者參考。

方法二、共點力平衡法

該方法的具體分析過程如下：

在調整AO、BO的拉力過程中，O點保持不動，因而O點受到的合外力為零，處于共點力平衡狀態。由此可得FA與FC的合力F與FB大小相等，方向相反。又因為FA、FC大小不變，所以當α在變小時，FA、FC的夾角增大，此時F將變小，即FB變小。由圖3可得，此時F′的方向相對于F的方向要偏向左上方，因而F′B的方向相對于FB的方向要偏向右下方，即β變小，故題中(1)、(2)均選C。

方法三、解析法

該方法分兩個方面進行分析：一方面是分析FB如何變化；另一方面是分析β如何變化。具體分析過程如下：

因O點保持不動，即O點受到的合外力為零，處于共點力平衡狀態。由圖4，可得

FAx=FBxFAy+FBy=FC

得FAsinα=FBsinβ(1)FAcosα+FBcosβ=FC (2)

由(2)變形可得

FC-FAcosα=FBcosβ(3)

將(1)、(3)式兩邊平方后相加，可得

FC2-2FCFAcosα+FA2=FB2(4)

由(4)得，當α減小時，cosα變大，因為FA、FC不變，因此等式的左邊將變小，即FB變小。

由(2)變形可得

FAcosα=FC-FBcosβ(5)

將(1)、(5)式兩邊平方后相加可得

FA2=FC2-2FCFBcosβ+FB2(6)

得cosβ=12FC(FC2-FA2FB+FB)(7)

∵α+β＜π2

∴0＜FA＜FC，0＜FB＜FC，

且FA2+FB2＜FC2，

得0＜FB＜FC2-FA2。

根據數學知識，函數y=ax+x(a＞0)在x＞0范圍內的圖像如圖5。

由圖像可得在(0，a］范圍內，當x減小時，y將增大。

因此對于(7)式，當FB在（0，FC2-FA2）范圍內，且FB減小時，cosβ將增大，即β將減小。

故題中(1)、(2)均選C。

(欄目編輯王柏廬)

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文