例談基本不等式在物理解題中的應用

不等式是數學學科中一個重要的內容，而基本不等式ab≤a+b2（a≥0，b≥0 ）和3abc≤a+b+c3卻在各種物理競賽和自主招生考試中發揮著重要作用。下面舉例子說明。

類型一：在力學中的應用

題1 如圖1所示，A是一帶有豎直立柱的木塊，總質量為M，位于水平地面上；B是一質量為m可看作質點的小球，通過一不可伸長的輕繩掛于立柱的頂端，懸點到小球的距離為l.現拉動小球使繩伸直并處于水平位置，然后讓小球從靜止狀態下擺，在小球與立柱發生碰撞前，木塊A始終未發生移動，則木塊與地面之間的靜摩擦因數μ至少為多大？（設A不發生轉動）

解析 設小球擺至位置C時細線與水平方向的夾角為θ，小球的速度為v，由動能定理可得：

mglsinθ=12mv2①

在位置C滿足：T-mgsinθ=mv2l②

對木塊，根據其靜止狀態，有

水平方向：Tcosθ-f=0③

豎直方向：Tsinθ+Mg-FN=0④

根據題意有：f≤μFN⑤

聯立①~⑤式得：

μ≥3msinθcosθ3msin2θ+M=sinθcosθsin2θ+M3m⑥

令y=sinθcosθsin2θ+M3m⑦

k=M3m⑧

則y=sinθcosθsin2θ+k

=sinθcosθsin2θ+k(sin2θ+cos2θ)

=sinθcosθ(k+1)sin2θ+kcos2θ

=1(k+1)tanθ+k1tanθ⑨

由基本不等式ab≤a+b2（a≥0，b≥0 ）得：(k+1)tanθ+k1tanθ≥2k(k+1)⑩

由⑨、⑩可得：y≤12k(k+1)○11

由⑥、○11可得：當μ=12k(k+1)○12時，不論θ取何值時，木塊A均不發生移動，把⑧式代入○12得μmin=12k(k+1)=3m2M(M+3m)，即為所求。

題2 如圖4所示，長為L的輕質桿，兩端分別固定有質量為m的小球A和B，A套在光滑豎直桿上，B套在光滑水平桿上。開始時桿與水平面成45°角，放手后A向下滑，B向右滑，求桿與水平面夾角為多大時，B的速度vB最大？此時vB為多大？

解析 分別作出A下滑到A′，B右滑到B′的速度矢量圖，設A′B′與水平面夾角為θ，如圖5所示，由系統機械能守恒得

mgL(sin45°-sinθ)=12mvA2+12mvB2 ①

兩球沿桿方向運動速度相等

v1=v3，即vAsinθ=vBcosθ②

由①②得vB=2gL(sin45°-sinθ)sin2θ

=gL(2sin45°-2sinθ)sinθsinθ③

令y=(2sin45°-2sinθ)sinθsinθ④

由基本不等式3abc≤a+b+c3得

y≤(2sin45°-2sinθ+sinθ+sinθ3)3=2227⑤

所以，當2sin45°-2sinθ=sinθ，即sinθ=23，θ≈28°時，B向右滑行的速度最大，最大速度為vBmax=62gL9⑥

類型二：在電學中的應用

題3 兩個等量帶正電的點電荷q相距為d，求它們連線的垂直平分線上場強最大的位置。

解析 如圖6所示，設兩點電荷連線的垂直平分線上的點C與兩點電荷的距離為L，點C處的場強為E，∠OAC=θ，則有E=2EACsinθ=2kqsinθL2

=8kqsinθcos2θd2①

其中k，q，d均為恒量。令y=sinθcos2θ，則

y2=sin2θcos4θ

=12×2sin2θcos2θcos2θ ②

由基本不等式3abc≤a+b+c3

得：y2=12×2sin2θcos2θcos2θ

≤12(2sin2θ+cos2θ+cos2θ3)3

=427③

由①②③可得最大場強

Emax=163kq9d2④

此時2sin2θ=cos2θ，即tanθ=22，θ≈35°。

題4 如圖7所示，ad、bc為相距為l（l≤1）的平行導軌（電阻可忽略），a、b間連一阻值為R的電阻。長直細桿MN可按任意角θ架在平行導軌上，并以平行于導軌的速度v平移。桿MN有電阻，單位長度的電阻為R，整個導軌內部空間充滿勻強磁場，磁感應強度大小為B，方向垂直于紙面向里。求：桿MN上消耗的功率為最大時角θ的值。

解析 桿MN上產生的電動勢

E=Blv①

桿在電路中的電阻為r=lsinθR②

流過桿MN的電流強度I=ER+r③

由以上三式得:桿MN上消耗的功率為

Pr=I2r=(BlvR+Rl/sinθ)2#8226;Rlsinθ④

整理④式得

Pr=B2l3v2R#8226;1sinθ+l2sinθ+2l⑤

令y=sinθ+l2sinθ⑥

由基本不等式ab≤a+b2（a≥0，b≥0 ）得：

y≥2sinθ×l2sinθ=2l⑦

等號成立時，sinθ=l2sinθ，即sinθ=l。

由于l≤1，所以由⑤⑥⑦三式得：當θ=arcsinl時，桿MN上消耗的功率最大，最大功率為Prmax=B2l3v24Rl。

(欄目編輯陳 潔)

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文