例談高中數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)問題提出的策略

　　思考始于問題，有問題才會(huì)去研究，所以問題在探究性學(xué)習(xí)中起著引領(lǐng)方向的作用。高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)明確指出數(shù)學(xué)探究課題的選擇是完成探究學(xué)習(xí)的關(guān)鍵。寧連華等通過研究認(rèn)為：“數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)的主流形式不是調(diào)查、實(shí)驗(yàn)性活動(dòng)，而是突出表現(xiàn)在以思維活動(dòng)為特征的問題探索或解難題范疇。”因此，如何提出合適的探究問題就成為高中師生在數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)中面臨的首要問題。
　　一、 通過試驗(yàn)、觀察、歸納提出探究問題
　　通過試驗(yàn)、觀察、歸納提出問題就是指通過試驗(yàn)得到具體的數(shù)學(xué)事實(shí)，再經(jīng)過仔細(xì)查看，思考分析，概括提出其中蘊(yùn)含的一般原理，最后歸結(jié)為猜想或問題的活動(dòng)。應(yīng)用此策略提出問題需要以對(duì)大量數(shù)學(xué)實(shí)例的仔細(xì)觀察和試驗(yàn)為基礎(chǔ)，需要有一雙尖銳的眼睛，大膽的想象和不怕辛苦的頑強(qiáng)毅力，只有這樣才能發(fā)現(xiàn)事物之中存在的規(guī)律，提出真正有價(jià)值的問題。
　　例，已知：如圖1，圓內(nèi)接正五邊形A1A2A3A4A5，點(diǎn)P為劣弧上一點(diǎn)。
　　求證：PA13+PA33+PA53=PA23+PA43 （1）
　　觀察（1）式可知，等式左邊為由點(diǎn)P出發(fā)的所有奇數(shù)條邊的立方構(gòu)成，右邊由點(diǎn)P出發(fā)的所有偶數(shù)條邊的立方構(gòu)成，這是圓內(nèi)接正五邊形時(shí)的情況。通過觀察自然聯(lián)想到如下問題：對(duì)于正三邊形、正四邊形以及正n邊形時(shí)的情況又如何呢？是否也有類似的等式成立呢？
　　如圖2， 圓內(nèi)接正三角形A1A2A3，點(diǎn)P為上一點(diǎn)，由于點(diǎn)A1、A2、A3、P四點(diǎn)共圓，由托勒密定理可知PA1×A3A2+PA3×A1A2=PA2×A3A1
　　即PA1+PA3=PA2（2）
　　我們對(duì)比一下（1）式和（2）式，發(fā)現(xiàn)由點(diǎn)P出發(fā)的所有奇數(shù)條邊的和等于所有偶數(shù)條邊的和，而僅僅次數(shù)由1變?yōu)榱?！一個(gè)是圓內(nèi)接正三角形，另一個(gè)是圓內(nèi)接正五邊形。1和3之間有2，而正三角形和正五邊形之間有正四邊形，這促使我們提出如下猜想。
　　如圖3， 圓內(nèi)接正四邊形A1A2A3A4，點(diǎn)P為劣弧上一點(diǎn)，則有下式成立PA12+PA32=PA22+PA42（3）
　　那么上述猜想是否成立呢？答案是肯定的，下面我們給出一個(gè)嚴(yán)格的證明！
　　連接A1A3和A2A4，因?yàn)锳1A2A3A4為圓內(nèi)接正四邊形，所以A1A3、A2A4均為此圓的直徑， 于是A1A3=A2A4
　　又由勾股定理可知PA12+PA32=A1A32，PA22+PA42=A2A42
　　所以 PA12+PA32=PA22+PA42
　　對(duì)比（1）式、（2）式和（3）式，可以發(fā)現(xiàn)由點(diǎn)P出發(fā)的所有奇數(shù)條邊的和等于所有偶數(shù)條邊的和，而僅僅次數(shù)由1變?yōu)?再變?yōu)?，對(duì)應(yīng)著正三角形變?yōu)檎倪呅卧僮優(yōu)檎暹呅危?-1=4-2=5-3=2！
　　真是太奇妙了！如此奇妙的規(guī)律使我們很難相信對(duì)于正n邊形它是不成立的。至此，通過試驗(yàn)、觀察、歸納，一個(gè)有趣的探究就被提出來(lái)了。
　　猜想 設(shè)A1A2A3L An為圓內(nèi)接正n（n≥3）邊形，點(diǎn)P為劣弧A1An上一點(diǎn)，
　　求證：
　　PA1n-2+PA3n-2+PA5n-2+L=PA2n-2+PA4n-2+L+PA6n-2+L
　　二、 通過聯(lián)想、類比、猜測(cè)提出探究問題
　　通過聯(lián)想、類比、猜測(cè)提出問題就是要把類似的未知數(shù)學(xué)對(duì)象和已知數(shù)學(xué)對(duì)象作比較，進(jìn)而根據(jù)已知數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)推測(cè)未知數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)的方法。我國(guó)著名數(shù)學(xué)家徐利治教授認(rèn)為：“只有在思維方式上善于融會(huì)貫通，舉一反三，既有廣泛的聯(lián)想能力，又有對(duì)不同數(shù)學(xué)領(lǐng)域之間內(nèi)在聯(lián)系的敏銳洞察力，才有希望通過巧妙地類比，提出有希望的問題。”因此，應(yīng)用此策略提出問題需要選取合適的類比對(duì)象，抓住兩類事物的共同之處和不同之處，進(jìn)行合理的猜測(cè)，提出問題。
　　例，三角形與三棱錐的類比問題
　　把三角形和三棱錐類比，圓和球進(jìn)行類比，通過類比聯(lián)想可以得到許多有趣的問題。我們知道三角形三邊和三角形的面積有著名的秦九韶-海倫公式
　　S=，三角形內(nèi)切圓半徑和面積有公式S△ABC=rc，其中P為三角形ABC的周長(zhǎng)，r為內(nèi)切圓半徑。通過把三角形的內(nèi)切圓和三棱錐的內(nèi)切球類比可提出如下問題。
　　問題1 三棱錐的體積和它的六條棱長(zhǎng)有什么樣的關(guān)系呢？是否也有類似的公式呢？
　　問題2 三棱錐的體積和它的內(nèi)切球半徑有什么樣的關(guān)系呢？是否也有類似的公式呢？
　　三角形內(nèi)切圓的圓心是其三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)，通過把三角形內(nèi)切圓的圓心和三棱錐內(nèi)切球的球心類比，我們可以提出如下問題。
　　問題3 三棱錐的內(nèi)切球的球心是否也是某個(gè)特殊的點(diǎn)呢？
　　通過把三角形外接圓和三棱錐外接球類比，我們可以提出如下問題。
　　問題4三棱錐的外接球的半徑與其六條棱的長(zhǎng)有什么樣的關(guān)系呢？
　　三角形外接圓的圓心是其三邊中垂線的交點(diǎn)，通過把三角形的外接圓和三棱錐的外接球類比，我們可以提出如下問題。
　　問題5三棱錐的外接球的球心是否也是某個(gè)特殊的點(diǎn)呢？
　　我們知道三角形存在旁切圓，類比可知三棱錐存在旁切球，把三角形的旁切圓和三棱錐的旁切球類比，我們可以提出如下問題。
　　問題6三棱錐的旁切球的半徑與其六條棱的長(zhǎng)有什么關(guān)系呢？
　　三角形的旁切圓是其兩個(gè)外角平分線的交點(diǎn)，通過把三角形的旁切圓和三棱錐的旁切球類比，我們可以提出如下問題。
　　問題7三棱錐的旁切球的球心是否也是某個(gè)特殊的點(diǎn)呢？
　　三、 通過變換條件或結(jié)論提出探究問題
　　通過變換條件提出問題就是通過改變已知的條件或結(jié)論進(jìn)而提出問題的方法。其實(shí)質(zhì)與著名的“否定假設(shè)法”有點(diǎn)類似。需要指出的是“否定假設(shè)法”是通過既改變條件又改變結(jié)論來(lái)提出問題的，而“變換條件或結(jié)論法”可以是既改變條件又改變結(jié)論來(lái)提出問題，也可以是不改變條件而只改變結(jié)論來(lái)提出問題，甚至還可以是不改變結(jié)論只改變條件來(lái)提出問題。因此，我們認(rèn)為“變換條件或結(jié)論法”比“否定假設(shè)法”概括性更強(qiáng)，應(yīng)用范圍更廣，在提出問題方面更有效。
　　例，設(shè)a，b，c＞0，且a+b+c=1，證明（a+）（b+）（c+）≥
　　這是一個(gè)高中數(shù)學(xué)不等式中常見的問題，我們采用“變換條件或結(jié)論的方法”，以該不等式為基礎(chǔ)，可以得到一大批更一般、更深刻的猜想和問題。
　　原不等式是三元不等式，如果是n元的呢？我們可以提出如下猜想。
　　問題1 設(shè)x1，x2，…，xn＞0且x1+x2+…+xn，=1證明
　　（x1+）（x2+）……（xn+）≥
　　原不等式變?cè)拇螖?shù)都是1，如果不是1呢？我們可以提出如下猜想。
　　問題2 設(shè)a，b，c＞0，且a+b+c=1，k∈N+，證明
　　（ak+）（bk+）（ck+）≥（3k+）3
　　原不等式變?cè)g是相加的關(guān)系，如果是相減呢？我們可以提出如下猜想。
　　問題3 設(shè)a，b，c＞0，且a+b+c=1，k∈N+，證明
　　（-ak）（-bk）（-ck）≥（3k-）3
　　原不等式變?cè)拇螖?shù)都是相同的，如果不同呢？我們可以提出如下猜想。
　　問題4 設(shè)a，b，c＞0，且a+b+c=1，證明
　　（a+）（b+）（c+）≥（）3
　　原不等式變?cè)拇螖?shù)都是自然數(shù)，如果是有理數(shù)或是實(shí)數(shù)呢？我們可以提出如下猜想。
　　問題5 設(shè)a，b，c＞0，且a+b+c=1，k≥1且k∈Q+，證明
　　（ak+）（bk+）（ck+）≥（3k+）3
　　原不等式變?cè)南禂?shù)都是1，如果不是1呢？我們可以提出如下猜想。
　　問題6 設(shè)a，b，c＞0，且a+b+c=1，λ≥1，證明
　　（a+）（b+）（c+）≥（3+）3
　　當(dāng)然，綜合運(yùn)用變?cè)獢?shù)、次數(shù)、加減號(hào)、參變量等因素，我們還可以提出更多的探究問題，限于篇幅不再贅述。
　　四、 通過抽象、概括、數(shù)學(xué)化提出探究問題
　　通過抽象、概括、數(shù)學(xué)化提出問題就是把實(shí)際問題進(jìn)行抽象，舍棄非本質(zhì)的屬性得到本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而把一個(gè)實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題或者通過概括多個(gè)問題的共同的特點(diǎn)進(jìn)而統(tǒng)一為一個(gè)一般性的數(shù)學(xué)問題的過程。此方法所研究的問題大都是一些實(shí)際問題，通過對(duì)實(shí)際問題的抽象、概括、數(shù)學(xué)化，進(jìn)而把一個(gè)實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問題，并且建立較為恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，以便對(duì)原問題研究，數(shù)學(xué)建模活動(dòng)即為此策略的具體體現(xiàn)。
　　例，液態(tài)奶紙質(zhì)包裝盒中的數(shù)學(xué)思考
　　液態(tài)奶是日常生活中的常見的飲品之一，不同公司的產(chǎn)品其包裝形狀也各有差別，通過對(duì)實(shí)際問題的抽象概括，可以提出如下問題。
　　問題1如何設(shè)計(jì)液態(tài)奶包裝盒才最節(jié)約包裝材料呢？
　　生活中常見的包裝盒都是由長(zhǎng)方形紙板折疊而成的，這啟示提出如下的問題。
　　問題2怎樣設(shè)計(jì)長(zhǎng)方形紙板的數(shù)據(jù)才最省材料呢？
　　通過抽象、概括和數(shù)學(xué)化，可以建立該問題的數(shù)學(xué)模型——最優(yōu)化模型，并從數(shù)學(xué)美的角度分析可知，采用的長(zhǎng)、寬、高比例設(shè)計(jì)時(shí)最為合理。通過上述方法進(jìn)行的數(shù)學(xué)建模活動(dòng)既培養(yǎng)了學(xué)生的問題意識(shí)又提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，可謂一舉兩得。
　　教師在指導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)的過程中，通過上述四個(gè)策略可以有效地提出許多問題和猜想，為學(xué)生提供豐富的探究課題。然而需要指出的是，并不是每一個(gè)問題都是適合高中生探究的，教師要幫助學(xué)生選擇難易適度的問題，這樣才能真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)。
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　　（責(zé)任編輯劉永慶）