談談數學課堂的學科缺失

　　一、 什么是數學課堂的學科缺失
　　數學課堂教學既要遵循教學活動的一般規律，又要遵循數學活動的特殊規律，是“教與學對應”和“教與數學對應”的雙邏輯建構。任何一個對應處理不好，都不可能產生好的教學效果。所謂數學課堂的學科缺失，簡單講就是課堂教學與“數學”的不對應，即課堂教學的內容、認知、活動、表達等方面不符合數學學科的規定或數學活動的規律，出現知識的、思維的、思想的、方法的錯誤或者不恰當、不準確，妨礙了學生的數學認知和素質發展。
　　數學走進課堂存在許多中間環節和影響因素，課堂教學與“數學”很好地對應起來不是一件容易的事情。由數學教育的雙邏輯模型（圖1）可以看出，教師的數學知識和經驗、教育取向的數學哲學、教育數學、教育取向的數學史構成了“教與數學對應”的中介，這些中介因素直接影響并指導課堂的數學活動，使得數學核心價值和思維方式正確地、適當地體現在課堂預設和師生活動中。教學論、課程論、學習論、教育技術是“教與學對應”的中介，能夠使得課堂的數學活動符合學生心理規律、符合教學規律，體現恰當的教育性。由此，數學課堂的學科缺失可以分為三類。
　　1.缺失正確的數學知識和經驗
　　例如，如果教師對知識點本身認識不足，就可能傳遞錯誤的數學信息，使學生的意義建構發生錯誤，形成不良的知識結構或數學觀念。
　　2.缺失“教與數學對應”的整體理解
　　例如，如果教師對知識點本身認識正確，但缺少數學哲學的知識，就可能膚淺地、片面地引導學生的數學活動，使數學課堂缺少數學思想、數學精神，從而壓抑學生的數學學習興趣，影響數學觀和科學人文素養的形成和發展。
　　3.缺失“教與學對應”因素的恰當配合
　　例如，如果教師的數學認識充分足夠，但缺乏教的有效知識，就可能把課堂組織得一團糟，學生“吃不了，吃不好，吃不飽”，課堂不能促進學生的認知發展，失去應有的教育功能。
　　二、 從實例看數學課堂的學科缺失
　　1.概念辨析缺失數學的本質
　　【案例】分式
　　生：如果我寫一個式子X/2X，約分之后是1/2，它還叫分式嗎？
　　師：大家能想到這一點非常好。初中課本中避開了這個問題，沒有談到一個式子用加減乘除的符號來表示，或者說m/n＋n/m是不是一個分式。實際上這樣的式子也叫分式，中間用加減乘除的符號連接，即使它沒有化簡過，它也叫分式。
　　【解析】一個代數式是不是分式，要看它的特征是否符合分式定義，而不是看它的運算結果。教師自己被“約分”搞糊涂了，忘掉了分式的本質屬性，混淆了“式的運算”和“含有運算符的式”兩個不同的概念，還錯誤地把m/n＋n/m這樣的“用加減乘除的符號連接”的式子解釋為分式。辨析數學對象，就要辨別它的本質屬性和非本質屬性，正確使用概念去表示、描述研究對象，偏離數學知識的本質就會造成科學性錯誤。
　　2.數學探究缺失數學的大觀點、大方法
　　【案例】任意角的三角函數
　　教師：銳角的正弦是通過構造直角三角形定義的。如果α是任意角，它的正弦如何定義呢？
　　學生：在終邊上隨便取一個點，過這個點作垂線，構造一個直角三角形，然后還用剛才的方法求，用那個鈍角所對的斜邊，不是，是鈍角的補角對的斜邊，……
　　教師：這個定義還是在三角形里面作的吧，好像擺脫不了銳角三角形。還有沒有其他的方法？
　　學生：作直角坐標系，畫個圓，過終邊和圓的交點，作x軸的垂線，由原來的定義類推一下，就是這條線段的長度和圓的半徑的比值。
　　學生：我不太明白，這種定義和剛才的定義有什么區別？
　　教師：還有沒有其他的想法？
　　學生：在終邊上任取一個點，標上這個點的坐標，用y比作該點到O點的長度，這個定義有正負之分，和原來的定義完全取正數有區別了。
　　教師：這個定義擺脫了銳角三角形、直角三角形。……觀察一下，原來銳角正弦的定義是一個比值，現在任意角的正弦也是一個比值，雖然都是比值，但還是有區別的。
　　【解析】從初中的平面三角發展到高中的三角函數，是數學觀念從靜態的、常量的綜合幾何走向動態的、變量的分析幾何的跨越，對學生來說是一個挑戰。這位教師沒有介紹研究三角函數必要性的背景知識，沒有說明角的推廣引起的數學方法的變化，也沒有突出銳角正弦定義中的條件和特點，而是直接要求學生下一個新的定義，這對學生來說太不容易了。在下定義的過程中，教師要求學生“擺脫銳角三角形”、“和初中定義有區別”，但對其思想根源卻沒有引導，學生雖然有探究，但探究總是盲目的、膚淺的，認識不到數學知識本身所隱含的深刻意義。數學探究是問題驅動的，當數學知識的建構涉及到數學思想方法的重大變革時，學生在課堂上很難跨越或者不可能自主地探究，需要教師給予比較明確的思想和觀念的指導、幫助。如果教師僅僅盯著知識點的表面信息，忽視了知識發生、發展的大觀點、大方法，學生就很難選擇、確定數學探究的方法、思路和目標，數學活動的過程體驗和意義獲得終究是一筆糊涂賬。
　　3.學生討論缺失教師的數學指導
　　【案例】任意角的三角函數
　　教師：令|OP|=1，就得到sinα＝y，cosα＝x，tanα＝y/x。對每一個α，它們的值是唯一確定的，所以它們又是一種函數關系。你能說說它們的定義域嗎？
　　學生：應該屬于實數范圍，因為y可以取到任何實數。
　　學生：x等于任何數都可以，它的定義域是R。
　　學生：由于α的正切值等于y/x，x作為分母是不等于0的，所以它的定義域應該是x≠0。
　　【解析】三角函數的自變量是角α，