基于APOS理論的中學(xué)函數(shù)概念的教學(xué)研究

　　一、研究背景
　　數(shù)學(xué)是由概念與命題等內(nèi)容組成的知識體系，它是一門以抽象思維為主的學(xué)科，而概念又是這種思維的語言。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中明確指出：“正確理解概念是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的前提”。可見，概念是數(shù)學(xué)知識體系中的核心，概念教學(xué)在數(shù)學(xué)中應(yīng)占有十分重要的地位。中學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)活動過程中，“一個定義，幾項說明”的概念教學(xué)方式比較普遍，許多教師按照這種步驟進(jìn)行教學(xué)，偏重于概念的邏輯結(jié)構(gòu)，忽視概念本身的含義，往往導(dǎo)致課堂氣氛沉悶，學(xué)生學(xué)習(xí)概念覺得枯燥無味，教學(xué)效果不好。
　　二、數(shù)學(xué)概念教學(xué)的形式
　　傳統(tǒng)數(shù)學(xué)概念教學(xué)提出采用概念形成和概念同化的方式進(jìn)行數(shù)學(xué)概念的教學(xué)。多數(shù)教師習(xí)慣使用概念同化教學(xué)。概念同化教學(xué)有以下四個步驟組成：（1）揭示概念的本質(zhì)、屬性，給出定義、名稱和符號；（2）對概念進(jìn)行特殊分類，揭示概念的外延；（3）鞏固概念，利用概念的定義進(jìn)行簡單的識別活動；（4）概念的應(yīng)用與聯(lián)系，用概念解決問題，并建立所學(xué)概念與其他概念間的聯(lián)系。這種教學(xué)過程比較簡明，使學(xué)生能夠比較直接地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念。但是概念同化教學(xué)偏重于概念的邏輯結(jié)構(gòu)教學(xué)，而忽視了數(shù)學(xué)概念本身的涵義。
　　數(shù)學(xué)概念具有過程和對象的雙重性，既是邏輯分析的對象，又是具有現(xiàn)實背景和豐富寓意的過程。建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者根據(jù)已有的知識經(jīng)驗主動建構(gòu)新知識的過程。在學(xué)習(xí)新概念之前，他們對一些數(shù)學(xué)問題和現(xiàn)象都有自己的看法和理解。數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)把學(xué)生這些知識經(jīng)驗作為新知識的生長點，從中“生長”出新的知識。
　　近年來，西方科學(xué)教學(xué)研究者根據(jù)建構(gòu)主義理論，提出了概念轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)觀。這種觀點認(rèn)為，學(xué)習(xí)是學(xué)生原有概念的改變、發(fā)展和重建，是學(xué)生的前概念向科學(xué)概念的轉(zhuǎn)化。因此，進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)該揭示它的形成過程，讓學(xué)生從概念的現(xiàn)實原型、概念的抽象過程、數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)作用、形式表述和符號化的運用等多方位理解一個數(shù)學(xué)概念，使之符合學(xué)生主動建構(gòu)的教育原理。
　　APOS理論是數(shù)學(xué)教育家杜賓斯基（Dubinsky）提出的關(guān)于數(shù)學(xué)概念教學(xué)的理論。他認(rèn)為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念要經(jīng)歷四個階段：Action（行動）—Process（過程）—Object（對象）—Scheme（概型）。其中的“行動階段”是學(xué)生理解概念的一個必要條件，通過活動讓學(xué)生親身體驗、感受概念的直觀背景和概念間的聯(lián)系。“過程階段”是學(xué)生對“活動”進(jìn)行思考，經(jīng)歷思維的內(nèi)化和整合過程，學(xué)生在頭腦中對活動進(jìn)行描述和反思，抽象出概念所特有的性質(zhì)。“對象階段”是通過前面的抽象，認(rèn)識了概念的本質(zhì)，對其賦予形式化的定義及符號，使其達(dá)到精確化，成為一個具體的對象。“概型階段”的形成要經(jīng)過長期的學(xué)習(xí)活動來逐步完善，進(jìn)而建立起與其他概念、規(guī)則、圖形等的聯(lián)系，在頭腦中形成綜合的心理圖式。
　　三、函數(shù)概念教學(xué)分析
　　1.初中階段函數(shù)概念的內(nèi)容結(jié)構(gòu)
　　在初中階段，“函數(shù)”這一部分教材通常是按下圖逐步展開的。
　　2.函數(shù)概念的定義
　　在初中階段，考慮到學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和心理特征以及函數(shù)概念本身的特點，它是這樣來敘述的：設(shè)在一個變化過程中有兩個變量x與y，如果對于x的每一個值，都有唯一的值與它對應(yīng)，那么就說y是x的函數(shù)，x叫自變量。
　　這里是從運動變化的觀點來對函數(shù)進(jìn)行定義的，是對函數(shù)的一個宏觀的、整體的把握，是一個樸素的概念，稱為傳統(tǒng)定義。它反映了歷史上人們對它的一種認(rèn)識，而且這個定義較為直觀，易于接受，按照由淺入深、直觀到抽象的步驟進(jìn)行安排內(nèi)容符合中學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。
　　3.基于APOS理論的函數(shù)概念的教學(xué)
　　（1）活動階段——通過實例，滲透變量思想
　　學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)概念之前，接觸到的基本上是常量數(shù)學(xué)，這里需要完成從常量到變量的轉(zhuǎn)變。問題是思維的源泉，思維是數(shù)學(xué)的內(nèi)核。課堂45分鐘到底要講什么？內(nèi)容教材已給定，但教師如何找到思維的切入點是課堂教學(xué)的關(guān)鍵。這就需要老師創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯栴}情境。
　　舉的例子應(yīng)是學(xué)生容易理解的，讓學(xué)生結(jié)合實際經(jīng)驗展開思考，充分利用學(xué)生頭腦中已有的知識和相關(guān)經(jīng)驗，培養(yǎng)學(xué)生的思維能在靜止與運動、離散與連續(xù)之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化，這是認(rèn)識的飛躍，在這一階段使用了“變量”這一表象。活動階段相當(dāng)于觀察，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的原始階段，為提出函數(shù)概念作準(zhǔn)備。
　　（2）過程階段——體驗函數(shù)概念的形成過程
　　例如：圓的周長與半徑的關(guān)系。學(xué)生看到半徑的變化能引起周長的變化，但這只停留在前一個認(rèn)知階段。在這里，則要關(guān)注兩者之間的關(guān)系。上面的例子中涉及到兩個變量，體會變量之間的相互制約性以及在同一運動系統(tǒng)中同時變化這種相互協(xié)調(diào)性。這些關(guān)于聯(lián)系的感性認(rèn)識的積累，會逐漸改變原來只把一個符號當(dāng)作固定的數(shù)的模式。在兩個變量間存在著一個使它們相互聯(lián)系、相互依賴、相互制約的規(guī)律，這種規(guī)律在所舉的例題中分別是某一個表格、某一條曲線或者某一個公式，突出“關(guān)系”。進(jìn)而把問題中的兩個變量加以區(qū)分，引進(jìn)“函數(shù)”與“自變量”這兩個概念。這一過程呈現(xiàn)出了函數(shù)概念的形成過程。
　　為了使每個學(xué)生都獲得必要的感知，讓學(xué)生自己舉例子，還可以利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行分析，讓學(xué)生感受函數(shù)與變化過程的關(guān)系。方程和函數(shù)之間的區(qū)別是什么？讓學(xué)生自己先思考，相互討論、交流而概括出來。
　　通過學(xué)生自己舉實例，把函數(shù)概念具體化，使得原先被認(rèn)為十分抽象的函數(shù)概念，轉(zhuǎn)化成了非常直觀和具體的對象，這樣，函數(shù)概念在學(xué)生頭腦中就變得很實在。
　　（3）對象階段——加深理解函數(shù)概念的本質(zhì)
　　經(jīng)過上面兩步的學(xué)習(xí)，這里的函數(shù)已經(jīng)是一個獨立的對象了。應(yīng)用前面學(xué)過的知識來加深理解自變量、函數(shù)值、對應(yīng)關(guān)系。函數(shù)階段是前面所學(xué)知識的一次集成，它把多項式、變量、坐標(biāo)系和方程等內(nèi)容進(jìn)行了整合。運用函數(shù)的觀點和方法去處理前面所學(xué)知識，會有更深層次的理解。研究函數(shù)關(guān)系的表示法時，這仍然可以從分析已引進(jìn)的列表法、圖像法、解析式表示的函數(shù)關(guān)系著手，分別指出各種表示法的優(yōu)缺點，并指出在研究函數(shù)時應(yīng)經(jīng)常把三種方法結(jié)合起來運用。
　　事實上，代數(shù)式可以看作帶有變量的函數(shù)表達(dá)式，求代數(shù)式的值就是求特定的函數(shù)值；方程實際上就是求已知函數(shù)滿足一定條件的變數(shù)值，使在該變數(shù)值上已知函數(shù)有某個預(yù)先指定的值，特別是函數(shù)值為零時的自變量的值；不等式可以視為求函數(shù)的誤差估計。如此一來，就把前面的知識統(tǒng)一到函數(shù)的范疇中，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性，體會函數(shù)思想無處不在。函數(shù)概念的建立需要經(jīng)過多次反復(fù)、循序漸進(jìn)，過快的抽象過程使得大部分學(xué)生理解不了函數(shù)概念，只能死記硬背。
　　（4）概型階段——建立綜合的心理圖式
　　函數(shù)概念并不是一個孤立的概念，它與其他數(shù)學(xué)概念是緊密聯(lián)系在一起的。函數(shù)概念的建立還需要經(jīng)過長期的活動來逐步完善。起初建立的概念模型，還要與后面其他數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)聯(lián)系起來，如函數(shù)的圖像、一次函數(shù)、二次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)等等。建立起與其他概念、規(guī)則、圖形等的聯(lián)系，逐漸在頭腦中形成綜合的心理圖式。
　　函數(shù)概念的教學(xué)經(jīng)過上面四個步驟，就會讓學(xué)生對函數(shù)概念的形成有了一個比較完整的認(rèn)識，掌握得比較牢固。這四個部分是一個不可分割的整體，不可割裂開來片面看待。
　　函數(shù)概念是一個不斷發(fā)展、不斷完善的數(shù)學(xué)概念。從不同的角度定義，得到不同形式的函數(shù)概念。考慮到函數(shù)概念自身的特點和學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，函數(shù)內(nèi)容在中學(xué)階段安排了兩處。在初中階段，從宏觀、整體的角度應(yīng)用運動變化的觀點來定義函數(shù)概念。到了高中階段，從微觀的角度應(yīng)用映射的觀點對函數(shù)概念進(jìn)行了定義。
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　　（責(zé)任編輯楊子）