對數學教材加工策略的思考

　　隨著新課改的深入推進，越來越多的教師開始理性地思考這次課程改革，越來越多的教師把課堂教學定位于“倡簡、務本、求實、有度”。的確，數學課堂的簡約可以說是數學教學的一種最高境界。但簡約不是簡單意義上的“減法”，而是來源于對教材的解讀與加工，教師對教材的解讀獨特而深刻，能夠抓住重點，有機整合，前后連貫。解讀與加工中選材可以少，但所選題材要有典型性、針對性，要精選素材，巧用素材，努力做到“一材多解”、“一材多探”、“一材多變”、“一材多用”，使每一份材料在課堂上都能發揮出最大的功效。
　　一、“一材多解”，培養學生的思維發散性
　　對于一道數學題，往往由于審視的方向不同，而得到不同的解題方法，在習題課教學中，教師若能抓住一切有利時機，經常有意識地啟發、引導學生在所學知識的范圍內，盡可能地提出不同的構想，追求更好、更簡、更巧、更美的解法，這不僅有利于對基礎知識的梳理和掌握，而且也有利于培養學生的發散思維能力。
　　例如：已知數列{an}滿足an=，n∈N*，試比較an與an+1的大小
　　方法一：（作商）∵an>0
　　∴===<1
　　∴an　　方法二：（濃度法）把an=看成是一杯溶液（糖）的濃度，隨著n的增大（相當于向溶液中加糖），濃度當然增大，易得an　　二、“一材多變”，培養學生知識遷移的能力
　　一個例題，如果孤立地去解答它，那么再好充其量只不過解決了一個問題。數學解題教學應突出探究活動，探究活動不僅停留在對原習題解法的探索上，而且應適當地對原習題進行深層的探索，挖掘出更深刻的結論。這就是數學教學中的變式藝術。變式，是一種探索問題的方法，變式可以激發學生學習數學的興趣，可以有效地提高學生的數學水平。
　　例如：求曲線y2=-4x上與點A（1，0）距離最近的點的坐標。
　　1．條件一般化
　　條件一般化是指將原題中的特殊條件，改為具有普遍性的條件，使題目具有一般性。將例題條件一般化，引導學生挖掘條件，是設計變式題首先考慮的一種方法。
　　變題：在曲線y2=-4x上求一點M（x，y），使它到點B（a，0）的距離最短。將原式的特殊點A（1，0）改為一般的點B（a，0），這符合由特殊到一般的認識規律，學生容易接受。
　　2．改變背景
　　改變背景是指在某些條件不變的情況下，改變另一些條件的形式，將問題得到進一步深化。在教學過程中，變換例題的形式，可激發學生的探究欲望，從而提高學生的創新能力。
　　變題：已知拋物線y2=-4x與直線y=kx+3沒有公共點，求k的取值范圍。也可進一步變題：已知拋物線y2=-4x與動圓（x-a）2+y2=2沒有公共點，求a的取值范圍。
　　3．聯系實際
　　聯系實際是將抽象的數學問題轉化為日常生活中常見的問題，這要求教師要有豐富的生活經驗和數學應用意識，教師在例題變式的過程中創設情境，引起或指引學生進行聯想，以此提高學生應用數學的意識和學習數學的興趣。
　　變題：一只高腳酒杯的軸截面是拋物線的一部分，它的函數解析式為y2=-4x，在杯內放一個玻璃小球，問多大的玻璃小球才能觸及酒杯的底部?這樣的變式練習，學生可以實驗得出，也可以通過教學方法得出，提高了學生學習數學的興趣。
　　4．變換條件和結論
　　變換條件和結論是將原題的條件和結論都有所變動，但所用的知識不離開原題的范圍。這種變題：是否存在同時滿足下列條件的拋物線：（1）準線是y=1；（2）頂點在y軸上；（3）原點0到此拋物線上的動點P的距離的最小值為1。若存在，有幾條?若不存在，請說明理由。
　　將常規題變為探索題，是設計變式題的又一途徑。由常規題變出來的探索題，對學生來說更具創造性和挑戰性。在教學中實施變式練習，必須防止機械模仿，應使練習的思維性具有合適的梯度，逐步增加創造性的因素。另外，還應向學生提供機會，接觸用各種形式給出問題的條件等。
　　二、“一材多探”，培養學生思維的深刻性
　　第一種形式：對同一題設條件，引導學生觀察和思考，由此對導出的各種結果進行探索性分析和論證，從而構造出在同一條件下的多個命題。
　　例如：已知AB是圓0的直徑，PA⊥圓O所在的平面，C是圓周上任一點，求證：△ABC所在的平面⊥△PAC所在的平面。
　　這是課本的一道習題，證明完畢后可引導學生思考，還可以得到哪些結果?不難發現如下結論：（1）△PAB、△PAC、△PCB、△ABC都是直角三角形；（2）平面PBCA⊥平面PAC，平面PAC⊥平面ABC，平面PAB⊥平面ABC；（3）∠CAB是二面角C-PA-B的平面角，∠PCA是二面角P-CB-A的平面角；（4）AC是異面直線PA、BC的公垂線段；（5）點A到平面PBC的距離就是A到PC的距離。
　　第二種形式：就是對一個確定的結論或某個數學概念，引導學生探索能使該結論或該概念成立的充分條件或必要條件或充要條件。
　　例如：三棱錐A-BCD滿足下列條件之一：（1）各側面都是正三角形；（2）各側面都是全等的等腰三角形：（3）各側面的斜高相等；（4）各側面與底面所成的角相等；（5）各側棱與底面所成的角相等：（6）各側面都是等腰三角形且底面是正方形；（7）相鄰側面所成的二面角相等；（8）相鄰側棱所成的角都相等。
　　問：哪些條件是四棱錐成為正三棱錐的充要條件?哪些條件是三棱錐成為正三棱錐的充分不必要條件?哪些條件是三棱錐成為正三棱錐的必要不充分條件?
　　“一材多探”的兩種設計，實際上就是結論開放和條件開放兩種類型的數學習題。可以看出這是一種思維能力訓練力度較大的教學設計，其特點就是讓學生直接參與到數學習題形成的過程中，真正收到了由表及里、舉一反三、觸類旁通的功效。
　　四、“一材多用”，培養學生的數學思想
　　“一材多用”的教學模式，就是利用題目的結論或公式，借題發揮，解決多個數學問題，這就要求解題者要一眼看透問題的本質。
　　例如：已知三棱錐P—ABC，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=a，求點P到面ABC的距離。
　　這道題主要是“點到平面距離”問題。我們可以采用：方法一：作圖直接求解法；方法二：等體積法；方法三：割補法，把該三棱錐補成正方體；方法四：向量法。
　　學生由常規思路進行方法一的求解，在教師的啟發下進行二、三的求解，然后再采用向量法，這樣引導學生“想一想”進行獨立思考，概括總結“求點到平面的距離”的基本解法，以及各個方法的特點，達到訓練思維的目的。該題講到這里，教師還可以對該題再次進行拓展，效果更佳。（1）縱向延伸。“求該三棱錐的外接球的體積”，引導學生深入思考，理清知識間的前后聯系，逐步深化、遞進，提高思維的深刻性。（2）橫向展開。“改變題設PA、PB、PC兩兩成60°，其它不動，再求點P到面ABC的距離和求該三棱錐的外接球的體積”，學生解題后，還可以橫向展開，引導學生從多種角度、多種途徑進行解題，此種方法多用于練習課與復習課，思維的批判性得到很好訓練。（3）逆向回轉，要求學生小結時注意轉化、化歸等數學思想。這樣，訓練學生從順、逆兩個方向思考問題，有利于認識的提高。一個題目多種方法，多角度設問，既訓練了學生的思維，又優化了思維品質，同時也提高了學生學習的興趣。
　　總之，教材的解讀與加工可多層次、廣視角、全方位地進行研究與拓展，它不只是解決數學問題的策略或方法，其重要意義是向學生揭示了數形結合的思想、化歸的思想和歸納的思想。
　　（責任編輯劉永慶）