物理學中的“微元法”探析

　　摘要：本文通過對“微元法”的敘述，詳細地論述了“微元法”在解決物理問題中的地位和作用，并通過典型試例具體闡述了這種解決物理問題的重要方法。
　　關鍵詞：微元法；系統；物理模型
　　
　　 一、“微元法”的引入
　　在物理學中，引入許多物理量和概念，這些物理量和概念之間的關系通常通過物理規律的具體形式表現出來——即物理公式。對于物理規律、物理現象、物理量的描述和計算的方法有很多種?！拔⒃ā笨梢哉f是一種好方法。所謂“微元法”就是選取研究對象中具有代表性的一個微小部分(或過程)進行分析研究的方法。這種方法是研究那些按一定規律連續變化的物理量所表現的物理特性的一般方法。
　　二、“微元法”與系統的關系
　　根據自然辯證法普遍聯系的觀點，任何事物都直接或間接地與周圍的其他事物無時無刻地發生著這樣或那樣的聯系。在物理學中，任何一個描述物理特性的物理量也處在這種聯系之中，與其周圍的聯系著的物體構成了物理意義上的系統，如此多的物理意義上的系統大致可分為兩種：均勻系統和非均勻系統。
　　1. 均勻系統中的“微元法”
　　在一個均勻系統中，描述某一特性的物理量是一個不變量，“微元法”是均勻系統中求解過程的抽象和總結。在均勻系統中，描述某一特性的物理量多表現為線性關系。如某一氣體微粒在某一特定狀態下均勻分布，則表現出在這一系統中的任何一點的密度是一定值，而其質量的大小與所選的體積有簡單的正比關系，用數學形式表達為m=pv，組成該系統的整體可認為是無數個小微元組成，即有一個微元體積△v，就有對應微元質量△m，其關系仍為△m=△pv，所以對一個均勻系統來說，整體的特性是多個微元的集中體現，如氣體的成分、化學性質、原子結構等通過這一微元完全可以表現清楚，可以說這一微元是整個均勻系統的縮影。
　　2. “微元法”與非均勻系統的關系
　　對于一個非均勻系統，其物理特性變化十分復雜，物理量的變化無規律可循，即使有一定規律變化的，計算起來也非常麻煩，只有少數的非均勻系統的物理量的變化還有一定規律可循。所以對這類物理量的計算，怎樣用數學手段把其轉化為簡單易懂的問題是一個關鍵。因為非均勻系統的物理量變化一般來說，都是連續變化的過程，故可以通過“微元法”把任何一個非均勻系統都看做是無數多個類似于均勻系統的微小部分的集合，也就是無數多個微元的集合。通過這樣的化分，可以用解決均勻系統那些簡單易行的方法來處理非均勻系統的問題，這種無數多個微元的疊加通過數學手段完全可以求解。對于非連續性變化的物理量的疊加可以用數列求解，而對連續變化的物理量的運算則用微積分的方法，能作出準確的答案。也可以說正是這種微元的出現，為極限、微積分等理論奠定了基礎，起到了啟發和推動作用。
　　三、物理學中很多基本模型都是“微元法”的基礎
　　在物理學的發展過程中，理想模型是很多物理課題研究的基礎，這些所謂的理想模型都是忽略掉一些次要因素，抓住主要特征而建立的。如力學中的質點、電學中的點電荷、勻加速運動、勻強電場等都是“微元法”的基礎，都是把整個系統看成一整體，而把其中的具有代表性的小部分(或某一小過程)拿出來研究，認為這一小部分(或某一小過程)是均勻的，它是研究整個系統的基礎，只有把該微元的特性、物理性質等因素研究清楚之后，再做以擴展，附加一些相關聯的次要因素，再研究整個系統的特征。
　　經典力學的支柱——牛頓三大定律，都是以質點為研究基礎，除研究物體轉動和物體各部的相對運動之外的大多數物體的動力學和靜力學問題，都是把所研究的物體看成是質點。質點是從真實物體中抽象出來的，它在一定程度上是客觀實際的反映，是研究質點系的基礎，是質點系中的一小部分即微元。電學中的點電荷，也是整個帶電體系統的一個微元，是研究整個帶電體性質及其應用的基礎。當然在物理學中“微元法”的應用遠遠不止這些模型，通常在研究物理量的變化規律時，選取的某一小部分都是微元的具體體現。
　　 四、“微元法”在力學、電學中的應用典型試例
　　“微元法”能夠把一個描述非均勻系統的物理量的變化過程詳細地描述出來，并且是一種簡便的方法?！拔⒃ā笨梢愿鶕枰瘎訛殪o、化變為不變、化不等為相等、化曲為直或化直為曲、化整體為部分等，對于角度微元，還可以用到近似分式：sinθ≈tgθ≈0，cosθ≈1，可以說它的應用體現在物理學中的各個分科之中。
　　1. “微元法”在力學中應用
　　在力學中，常會遇到運動的問題，分布不均勻的系統等的求解，在此類問題的求解方法中，“微元法”是常用的方法之一。
　　例1如圖1所示，A物置于水平面上，A前固定一小滑輪B，高臺上有一定滑輪D，一根輕線一端固定在C點，再繞過B、D，B C段水平，當線的自由端以速度V拉時，A沿水平面向右前進，求當跨過B輪的兩段繩成夾角θ時A的運動速度。
　　分析與求解：取時間微元△t，在這段時間內，A物運動到A'位置，A運動的距離為S=BB'。從B'點作B'E上BD，在△DEB'中，由于△t極小，可以認為DB'=DE(用“微元法”化不等為相等)。
　　所以，自由端運動的距離為S=BE+BB'。
　　因為S=BB'cosθ+BB'=BB'（cosθ+1）=S1(cosθ+1)，
　　所以，V=V1（cosθ+1）。
　　所以物體A運動的速度V1=v／（cosθ+1）。
　　此題應用了“時間微元法”，所謂“微”就是小的意思，即時間很短，物體產生的位移BB'很小，當然BD與B'D相差也很小，運用這種微元的近似，使問題得以解決。
　　2.“微元法”在電磁學中的應用
　　我們已經知道點電荷是一種微元模型，而點電荷只是整個帶電體的一個微小部分。在電學中，電位的計算借助點電荷產生的電位的疊加，可把帶電區域分成無數多個小體積微dv，其電量為ρdv（ρ為電荷連續分布的體密度），那么，該微元對場中某點貢獻的元電位為du=，r是dv到該點的距離，整個帶電系統對該點激發的電位為u=。當然類似的方法應用還很多，常取體積微元、面微元、線微元，還有圓環微元等。
　　例2如圖2，在與均勻恒定磁場B垂直的平面內有一長為L的直導線ab，設導線繞a點以角速度ω轉動，轉軸與B平行，求ab上產生的電動勢。
　　分析與求解：本題可以用法拉第電磁感應定律求解，但也可以用微元法求解，即用Eab=（V×B）·dl。
　　解：對ab上取長度微元dl，其運動的速度v與B垂直，且V×B與dl同向，則（V×B）·dl=VBdl=ωBldl（利用微元法化不等為相等）。
　　此題利用長度微元d1，把dl兩端的速度ωl與ω（1+dl）化不等為相等，化解了速度連續隨L變大的矛盾，使問題迎刃而解。
　　當然，“微元法”在物理學中的應用遠不止這些，如速度的定義、加速度的引入、電場強度的求法等，都是應用了“微元法”，才使這些物理難題得以解決，使復雜的問題得以簡化，推動了物理學的向前發展。相信隨著科技的進步，“微元法”在物理學及其他科學技術領域的應用會更加廣泛。
　　
　　參考文獻：
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