數學教學中滲透解題思維策略的嘗試

　　數學思維策略是指在解決數學問題、發現數學知識的過程中所采用的整體思路，是帶有目標性與原則性的思想方法，也是一種信息的交合，是主體接觸問題或目標后的思維決策選擇。數學教學應啟發和引導學生，尋求適合不同問題的思維策略，從而快速實現解題的目標。下面結合本人平時的教學，談談如何在教學中滲透諸種思維策略。
　　一、滲透動靜轉換的思維策略
　　動和靜是事物狀態表現的兩個側面。在數學中，一方面動和靜在一個參照系中是相對的、可以轉化的，另一方面，對于同一事物可以追尋形成靜止狀態以前的運動過程；或者反過來，從運動表現中推出的事物將會達到相對靜止局面。因此在教學過程中滲透用運動的觀點來處理靜的數量和形態，即以動求靜；或用靜的方法處理運動過程和事物，即以靜求運動。
　　例1如圖1，在半徑為2的⊙0內有一動點P，過P點有兩條互相垂直的弦AB和CD，試求AC2+BD2的值。
　　分析：因為P是⊙O內一動點，由問題可以推猜它是一個定值，那么這個值會等于什么呢？可猜想它的值和在特殊位置時的值應該相等，那么把這個P點移到O，成為一個靜止下的狀態，可求得AC2+BD2=16=
　　AB2，由此可以聯想到添一條直徑作為輔助線，構造直角三角形，從而使目標問題得到解決。
　　解：作直徑BE，連結AE、DE（見圖2），則∠EAB＝∠BDE＝Rt∠，又AB⊥CD，所以AE∥CD，可得AC＝DE，在Rt△BDE中，BD2+DE2=BE2=16，即AC2+BD2=16。
　　二、滲透正難則反的思維策略
　　解決數學問題時，一般總是先從正面入手按照常規思維去進行思考，但有時會遇到從正面入手較繁或較難的情況，或出現一些邏輯上的困境，這時應克服思維定式，從問題或其中某個方面的反面入手進行思考，采取順繁則逆、正難則反的思維策略，即反證法。
　　例2已知四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°，求證：四邊形ABCD有一個外接圓。
　　分析：圓內接四邊形對角互補，此命題的正確性好像很顯然的，但要從正面去說明這個問題的正確性又難以從邏輯上說清楚，故我們可從反面去說明，即用反證法證明之。
　　證明：作△ABC的外接圓O，假設點D不在⊙O上，則點D在⊙O內或在⊙O外。
　　（1）如圖3，若點D在⊙O外，設CD(或AD)交⊙O 于點E，連結AE，則四邊形ABCE是⊙O 的內接四邊形，所以∠B+∠AEC＝180°，而∠AEC>∠D，所以∠B+∠D<180°，這和已知矛盾，所以點D不在⊙O外。
　　（2）如圖4，若點D在⊙O 內，設AD的延長線交⊙O于點E，連結CE，則四邊形ABCE是⊙O的內接四邊形，所以∠B+∠E＝180°，而∠ADC>∠E，所以∠B+∠ADC>180°，這又與已知矛盾，所以點D不在⊙O內。
　　綜合（1）（2）所以點D在⊙O上，即四邊形ABCD有一個外接圓。
　　三、滲透分合相輔的思維策略
　　任何事物的構成都具有“一中有多，多中有一”的性質，從而任何事物都可以進行肢解或合并，數學問題也是如此，因此在解題過程中可以將求解問題進行肢解，轉化成一些較小的、易于解決的小問題，再通過合成，使原問題在整體上得到解決，這就是化一為多、以分求合的思維策略；有時也可以反過來，把求解的問題納入到較大的合成問題中，寓分為合、以合求分，使原問題迎刃而解。
　　例3求證：不論a為何實數時，關于x的三個方程，x2-（a+1）x+a2－1=0，x2-（3a-
　　1）x+a2+a－2=0，x2+（2a+1）x+a2-2a+3=0至少有一個方程有兩個不相等的實數根。
　　分析：若把每個方程的根的判別式求出，逐一進行驗證，既煩瑣而且很難處理，此時我們教師提出，能不能把這三個根的判別式放在一起，進行整體考慮呢？即寓分為合、以合求分，即三個判別式在什么情況下能保證至少一個大于0呢？三個判別式相加大于0，從而我們只需處理整體是否對于a取任何實數時的值都大于0就可以了。
　　解：因為△1=(a+1)2－4(a2－1)=-3a2+2a+
　　5，△2=(3a－1)2-4(a2+a－2)=5a2－10a+9，△3=(2a+1)2－4(a2-2a+3)=12a－11，所以△1+△2+△3=2a2+4a+3=2(a+1)2+1。
　　所以對于a取任何實數時，△1+△2+△3?叟1>0；所以對于a取任何實數時，△1、△2、△3中至少一個大于0，即對于a取任何實數時，三個方程中至少有一個有實數根。
　　四、滲透倒順相通的思維策略
　　倒順相通策略就是分析和綜合相結合的思維策略。解數學題往往會用順推，從條件出發推出某些關系或性質的成立，或者從結論出發去尋求使它成立的充分條件，直至追溯到已知事項，但最有效和簡捷的解題途徑是這兩者的結合的思維策略。滲透語言為：你是否利用了整個條件？若把結論當做條件，你能從這個條件中得出什么結論？通過已知條件你能得出這個結論嗎？
　　例4如圖5，AE和BD是△ABC的兩條高線，M、N分別是AB和DE的中點，求證：MN⊥DE。
　　解析：因為N是DE的中點，若把MN⊥DE當做已知，你能得出什么結論？可以得出MN是DE的中垂線，利用中垂線的性質，你可得出什么結論？若連結MD、ME，就有MD=ME，反過來，若有MD=ME，你能證明MN⊥DE嗎？通過已知條件，你能得出MD=ME嗎？由已知DM和EM分別是Rt△ABD與
　　ME。通過這樣的設問，使問題的結論和條件倒順相通，從而問題得到解決。
　　由于受定向思維的束縛，學生很難一下子就能接受各種思維方法，而且靈活運用這些思維策略就更加難。所以在學生解題過程中與現有知識相沖突時，需要我們教師不間斷地滲透這些思維策略，而且在解題后要讓學生作充分的反思、總結，以逐步養成其良好的解題思路。
　　（臨海市外國語學校）