淺析解決梯形問(wèn)題常用的方法

　　一、問(wèn)題的提出
　　解決梯形問(wèn)題常用的方法是添加輔助線。而初中學(xué)生在解決平面幾何問(wèn)題時(shí)，往往缺乏添加輔助線的經(jīng)驗(yàn)，因此，輔助線的添加是初中生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，下面通過(guò)舉例說(shuō)明梯形常用輔助線的添加方法。
　　二、指導(dǎo)思想
　　梯形是與平行四邊形并列的一種特殊的四邊形，它是平行四邊形與三角形知識(shí)的綜合，因此，解決梯形問(wèn)題的指導(dǎo)思想通常是通過(guò)適當(dāng)添加輔助線，將梯形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形或平行四邊形問(wèn)題，再運(yùn)用三角形或平行四邊形的知識(shí)解決梯形的相關(guān)問(wèn)題。
　　三、基本方法：通過(guò)平移或旋轉(zhuǎn)來(lái)實(shí)現(xiàn)
　　1. 平移
　　(1)平移兩腰
　　過(guò)梯形一底的中點(diǎn)作兩腰的平行線，將梯形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)平行四邊形及一個(gè)三角形的問(wèn)題來(lái)加以解決。
　　例1：如圖1，梯形ABCD中，AB∥BC，
　　∠D+∠C=90°，AB=3，DC=5，E，F(xiàn)分別是
　　AB，CD的中點(diǎn)，則EF=_____。
　　答案：1
　　簡(jiǎn)析：過(guò)點(diǎn)E作EM∥AD交DC于點(diǎn)M，作EN∥BC交DC于N點(diǎn)，則∠MEN=90°，DM=AE=EB=NC=1.5，
　　 ∴MF=NF=1∴EF=MN=1。
　　 優(yōu)點(diǎn)：①出現(xiàn)上下兩底之差；②將兩腰放在同一個(gè)三角形中。
　　(2)平移對(duì)角線
　　過(guò)梯形對(duì)角線的一個(gè)端點(diǎn)作另一條對(duì)角線的平行線，并與另一底的延長(zhǎng)線相交jHWXhi3hG1+iuW22SApzmw==，構(gòu)成一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形，使兩條對(duì)角線在同一個(gè)三角形中。
　　例2：如圖2，等腰梯形ABCD中，
　　AD∥BC，AB=DC，AC⊥BD，若AD+BC=2a。
　　求S梯形ABCD 。
　　解：過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。
　　∵AD∥BC∴四邊形ADEC是平行四邊形
　　∴CE=AD，DE=AC∴BE=BC+CE=BC+AD=2a
　　∴S△ABD=S△DAC=S△CDE
　　 在等腰梯形ABCD中，AC⊥BD
　　 ∴△BDE是等腰直角三角形 ∴BD2=DE2=BE2==2a2
　　 ∴S梯形ABCD=S△BDE=BD·DE=BD2=·2a2=a2
　　 優(yōu)點(diǎn)：①將上下兩底之和轉(zhuǎn)化到一邊上；②將兩條對(duì)角線放在同一個(gè)三角形中；③將梯形的面積轉(zhuǎn)化為三角形的面積。
　　 方法點(diǎn)撥：當(dāng)梯形的對(duì)角線相等或垂直時(shí)，常作對(duì)角線的平行線，構(gòu)成平行四邊形、等腰三角形或直角三角形。
　　2. 作高
　　過(guò)梯形上底的兩個(gè)端點(diǎn)作梯形的兩條高，把梯形分割成兩個(gè)直角三角形和一個(gè)矩形來(lái)解決問(wèn)題。
　　例3：如圖3，梯形ABCD中，
　　已知AD∥BC，BC=BD，AB=AC，
　　且AB⊥AC，則∠ABD的度數(shù)為_(kāi)___。
　　 簡(jiǎn)析：分別過(guò)點(diǎn)A，D作AE⊥BC于點(diǎn)E，作DF⊥BC于點(diǎn)F
　　∵AB=AC，且AB⊥AC
　　∴∠ABC=45°，AE=BC∴DF=AE=BC=BD
　　∵∠DFB=90° ∴∠DBF=30°∴∠ABD=15°
　　3. 延長(zhǎng)兩腰
　　延長(zhǎng)兩腰交于一點(diǎn)，可構(gòu)成兩個(gè)三角形，利用三角形的有關(guān)性質(zhì)解決問(wèn)題，也是常用的方法之一。
　　例4：如圖4，梯形ABCD中，AB∥DC，
　　∠D=∠C=60°，AB=a，AD=b。求DC的長(zhǎng)。
　　解：延長(zhǎng)兩腰交于點(diǎn)E
　　 ∵AB∥DC∴∠EAB=∠D=60°，∠EBA=∠C=60°
　　 ∴△EAB，△EDC均為等邊三角形∴EA=AB=a
　　 ∴DC=DE=DA+AE=b+a。
　　 4. 利用中點(diǎn)
　　 (1)等積變形(旋轉(zhuǎn))
　　 連接梯形上底的一個(gè)端點(diǎn)與另一腰中點(diǎn)并延長(zhǎng)與下底的延長(zhǎng)線相交，借助所得的三角形及中位線能使思路清晰明朗。
　　例5：如圖5，梯形ABCD中，AD∥BC，E為AB的中點(diǎn)。
　　求證：S梯形ABCD=2S△DEC 。
　　證明：延長(zhǎng)DE交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F
　　∵AD∥BC∴∠A=∠EBF
　　∵AE=BE，∠AED=∠BEF
　　∴△ADE≌△BFE ∴DE=FE，S梯形ABCD=S△CDF
　　∵S△DEC=S△CFE=S△CDF∴S梯形ABCD=2S△DEC
　　 方法點(diǎn)撥：通過(guò)做輔助線，利用對(duì)稱性做等積變形是解決此類問(wèn)題的常用方法。
　　 (2)作中位線
　　例6：如圖6，梯形ABCD中，AD∥BC，E為
　　AB中點(diǎn)，AD+BC=CD。試猜想△CDE的形狀，
　　并證明你的結(jié)論。
　　解：猜想△CDE是直角三角形
　　證明：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AD交CD于點(diǎn)F
　　∵E為AB中點(diǎn)∴EF是梯形ABCD的中位線
　　∴EF=(AD+BC)=CD∴△CDE為直角三角形。
　　 (3)連接對(duì)角線中點(diǎn)和頂點(diǎn)
　　連接梯形一頂點(diǎn)與一對(duì)角線中點(diǎn)，并延長(zhǎng)與底邊相交，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形中位線。
　　例7：如圖7，梯形ABCD中，AD∥BC，
　　P，Q分別是對(duì)角線AC，BD中點(diǎn)，猜想PQ
　　與AD，BC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明。
　　解：猜想PQ=（BC-AD）
　　證明：連接DP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)M
　　∵AD∥BC∴∠DAC=∠BCA
　　∵∠APD=∠CPMAP=CP ∴△ADP≌△CMP
　　∴DP=MP，AD=MC∴PQ是△DMB的中位
　　∴PQ=MB=(BC-MC)=(BC-AD)
　　總之，解決梯形問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線。輔助線的添加不能盲目，首先認(rèn)真審題；其次要結(jié)合題目的條件和結(jié)論；再次要求熟練掌握基本定理及基本圖形的性質(zhì)；最后結(jié)合上述方法添加適當(dāng)?shù)妮o助線。正確熟練地掌握輔助線的添加是我們快捷解題、證題的關(guān)鍵。
　　
　　（欽州市合浦師范學(xué)校）