二次函數解析式的模型歸類

　　摘要：二次函數是九年級數學的重要內容，其中確定函數的解析式是重要的課程目標。要依據特殊性包含于一般性的原則，探索歸納出由特殊到一般的二次函數的解析式模型，達到快速準確地應用待定系數法確定解析式的目標。
　　關鍵詞：二次函數解析式；確定型；開放型；圖像變換型
　　
　　二次函數中，解析式的確定是重要的課程目標。在教學中，要確定二次函數解析式，在不同的已知條件下套用不同的解析式模型，可以簡化解題過程。
　　一、確定型
　　要確定任意一個二次函數的解析式，都可以用待定系數法，設解析式為y=ax2+bx+c，而特殊函數的解析式能采用特殊的解析式模型。
　　（1）一點式：二次函數圖像與y軸交于（0，p）時，由二次函數圖像的幾何意義，設解析式為y=ax2+bx+p。
　　例1．已知過A（-2，-1），B（2，1）兩點的二次函數的圖像與y軸相交于（0，-2），試確定該二次函數的解析式。
　　 解析：設二次函數的解析式為y=ax2+bx-2，由已知得：4a-2b-2=-1，4a+2b-2=1，a=，b=，
　　故，解析式為y=x2+x-2。
　　（2）兩點式：已知二次函數圖像與x軸交于兩點（m，0）和（n，0）時，由二次函數圖像的幾何意義知，x=m和x=n是函數值為0的方程的兩個根，故設解析式為y=a（x-m）（x-n）。
　　例2．已知拋物線經過A（-1，0），B（3，0），C（2，3）三點，求該拋物線的解析式。
　　解析：設拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3），將C點的坐標代入，得，-3a=3，a=-1，故，y=-（x+1）（x-3）。
　　（3）三點式：已知二次函數圖像與x軸交于兩點（m，0）和（n，0），與y軸交于點（0，p）時，x=m和x=n是函數值為0的方程的兩個根，可以設解析式為y=a（x-m）（x-n），即y=ax2-a（m+n）x+amn，而amn是圖像與y軸交點的縱坐標，于是amn=p，解得a=。特別的，圖像過原點（0，0）時，設解析式為y=ax（x-m）。
　　例3．已知拋物線經過A（-1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于C點，且BC=3，求拋物線的解析式。
　　 解析：設C（0，c），由B（3，0），BC=3，得（3）2=32+c2，c=±3，設解析式為y=a（x+1）（x-3）=ax2-2ax-3a，則-3a=±3a==，故，y=±（x+1）（x-3）。
　　（4）頂點式：已知二次函數的圖像頂點為（h，k）時，設解析式為y=a（x-h）2+k。
　　例4．已知O為原點，A（2，0），B（1，），求經過A，B，O三點的拋物線的解析式。
　　解析：由已知得，點B為拋物線的頂點，故設解析式為y=a（x-1）2+，過（0，0）點，則a=-，即y=-（x-1）2+。
　　（5）對稱軸式：已知拋物線的對稱軸為x=h，設解析式為y=a（x-h）2+k。
　　例5．已知拋物線的對稱軸為x=2，且過點（4，2），（1，0），求該拋物線的解析式。
　　解析：由拋物線的對稱性，設解析式為y=a（x-2）2+k，則2=4a+k，0=a+k，a=，k=-，故，y=（x-2）2-。
　　 二、開放型
　　確定一個二次函數的解析式的開放問題是新課程中出現的新型問題，旨在考查學生的發散思維能力，只要掌握拋物線的開口方向、對稱軸方程、頂點位置、與x軸和y軸的交點、y隨x的增大而變化的趨勢等對應的實數的取值范圍，任意寫出一個函數關系都符合要求。
　　例6．（1）已知一個二次函數圖像的頂點為（-2，3），且開口向下，求函數的解析式。
　　解析：只須注意在解析式y=a（x+2）2+3中，a＜0的條件，
　　故，解析式可以為y=-（x+2）2+3。
　　（2）已知二次函數的圖像與y軸相交于（0，-1），頂點在第三象限，在第一象限y隨x的增大而增大，求函數的解析式。
　　解析：設解析式為y=ax2+bx-1，由頂點在第三象限，且在第一象限y隨x的增大而增大，知開口向上，a＞0，＞0，即b＞0，故，解析式可以為y=x2+2x-1。
　　 三、圖像變換型
　　對圖像采取平移和軸對稱變換后，只改變圖像在坐標平面內的位置或開口方向，而不改變開口大小，所以，變換前后，緊緊抓住頂點的位置（坐標）和開口方向，是解決問題的關鍵。
　　例7．已知：二次函數y=ax2+bx+c，將其圖像依次進行如下變換：⑴作關于x軸的軸對稱圖形；⑵作關于y軸的軸對稱圖形；⑶向左平移1個單位，向上平移3個單位，得二次函數的解析式為y=2（x-1）2-2。試確定原函數解析式。
　　思路：按變換順序的倒序⑶，⑵，⑴的順序及原變換的逆變換依次作3個變換，即確定了原函數的解析式。
　　解析：將y=2（x-1）2-2逆變換⑶：向右、向下分別平移1，3個單位得y=2（x-2）2-5→逆變換⑵：作關于y軸的軸對稱圖形y=2（-x-2）2-5=2（x+2）2-5→逆變換⑴：作關于x軸的軸對稱圖形-y=2（x+2）2-5，即y=-2（x+2）2+5。
　　故，原函數的解析式為y=-2（x+2）2+5。
　　 （通渭縣第二中學）