《離散型隨機變量的期望與方差》課例與點評

　　一、背景介紹
　　2011年3月，在省級課題《中學數學聽課與評課案例研究》組長的安排下，本人執教了一節高三數學復習公開課《離散型隨機變量的期望與方差》。課后，課題組部分老師對本節課作了中肯的點評，對我啟發很大。為此，本人進行了整理與分析，借此與大家交流。
　　二、教學實錄
　　1.通過實例，歸納概念
　　教師：引例：已知隨機變量ξ的分布列如下表。
　　則ξ的數學期望是_______；ξ的方差是____。
　　教師：期望、方差的概念是什么？求期望、方差的過程是什么？
　　學生：求出m=0.5，通過計算求出ξ的數學期望是2.1；ξ的方差是0.49。
　　（師生共同總結期望、方差的概念，及求期望、方差的過程，教師并在黑板上板書）
　　2.講解例題，提升能力
　　例1.（2009年廣東高考題）已知離散型隨機變量X的分布列如下表。若EX＝0，DX＝1，則a＝___，b＝___。
　　教師：根據那些條件或性質列出有關a，b，c的關系式。
　　學生：利用分布列的性質、期望和方差的定義得出關于a，b，c的方程組。
　　教師：請計算出a，b的值。
　　（對準確、快速得出結果的學生加以表揚，指出計算能力的重要性，學生應加以重視）
　　例2.某地試行高考考試改革：在高三學年中舉行5次統一測試，學生若通過其中2次即可獲升入大學資格，且不用參加其余考試。而學生最多也只能參加5次測試。若某學生每次通過測試的概率都是1/3，每次測試通過與否相互獨立。規定：若前4次都沒通過，則第5次不能參加測試。
　　（1）求該生考上大學的概率。
　　（2）記該生參加測試的次數為ξ，求ξ的分布列。
　　（3）求ξ的期望。
　　教師：在問題（1）什么情況表示該生考上大學？
　　學生：參加k次考試，在前k-1次通過其中一次的條件下，第k次也通過。
　　教師：依此容易寫出“該生考上大學的概率”的算式（學生口述過程）。但能否找到更簡單的算法？
　　學生：依據“正難則反”的思路，求出“該生考上大學”這一事件對立事件的概率。
　　學生：令事件A表示“該生考上大學”。
　　（教師總結上面的思路，并利用課件展示完整的計算過程）
　　教師：在問題（2）中。請問ξ可取哪些值，分別表示什么事件？
　　學生：ξ可取2，3，4，5（學生很容易得出）。
　　學生1：“ξ=2”表示“第一次與第二次考試都通過，考試過程結束。”
　　學生2：“ξ=3”表示“前兩次考試通過其中的一次，第三次考試通過，考試過程結束。”
　　學生3：“ξ=4”表示“前三次考試通過其中的一次，第四次考試通過，考試過程結束。”
　　學生4：（經過思考討論）“ξ=5”表示“前四次考試通過其中的一次，第五次考試無論通過與否，考試結束。”
　　（教師對學生的解答過程加以修正，并且對學生良好的表現予以充分的肯定與表揚）
　　教師：（課件展示學生計算結果）ξ的分布列為：
　　（1）求該同學答對問題的個數ξ的分布列。
　　（2）求ξ的期望與方差。
　　（３）設答對一個題目得10分，否則扣一分，求該同學得分X的期望與方差。
　　教師：你求期望與方差的思路是什么？
　　學生：根據期望與方差的定義，得出分布列得出：
　　教師：解決問題（3）的思路如何？
　　學生：求X的期望與方差可通過ξ與X的線性關系間接求出。
　　（教師板書學生計算過程，并鼓勵學生的做法）
　　教師（總結并課件展示結論）：
　　（1）當求隨機變量的期望與方差時，若ξ服從二項分布，則用公式求解，可大大減少運算量。
　　（2）公式：E（aξ＋b）＝aEξ＋b，D（aξ＋b）＝a2Dξ
　　課堂小結、課堂練習、課后作業（略）
　　三、課后反思
　　本節課是省級課題《中學數學聽課與評課案例研究》研究組組織的一堂公開課。課題組成員和高中學科指導組成員參與了評課活動。結合老師們提出的寶貴意見，反思如下：
　　1.緊扣教學目標，力求課前準備充分
　　好的課堂教學，要求對學生的前位知識有足夠的了解，學情分析必須非常細致。因此，深究教學內容以設計出一個真正符合學生的教學設計是課前準備的首要環節。本節課是復習課，之前，學生已會利用期望、方差的知識去處理一些簡單的問題。在此基礎上，通過本節課典型例題的設計，培養學生哪些方面的能力與解題思想，達到怎樣的目的，我都做了積極認真的思考。
　　2.關注學生思維，力求課堂教學清晰
　　本節課的主要目標是讓學生對這一部分內容作以系統的回顧與總結，進一步提高學生計算、歸納、分類的能力。在教學過程中，我始終圍繞這一目的，力求講述的內容清晰，由此，對要教授的內容，我進行了認真細致的梳理，力求層次分明：
　　（1）引例重點是回顧概念，學生以口答形式完成。
　　（2）例1是為考查與提高學生的計算而設計，課堂上學生以練為主。例2、例3的處理，需要學生對數學化歸、分類思想有較高的要求。課堂上要積極引導學生討論，與學生共同修正發生的錯誤，通過得出結論的過程，培養學生的解題能力，提高學生的解題思想。
　　（3）課堂小結由學生完成，對學生掌握欠缺的知識點，在后面的課堂教學中得以再一次的灌輸。從最后的教學效果來看，學生整堂課學得輕松、愉悅，課堂教學的有效性彰顯充分。
　　3.創設合理的教學情境，力求教學過程多彩
　　我們知道，課堂效率取決于課堂知識的灌輸與當時學生的心境。因此，教師通過組織與引導，讓學生能在愉悅的心情下，充分享受學習樂趣的同時，增長知識點、擴大知識面，從而不知不覺地理解和掌握教學任務中的知識。這也是關注學生學習過程中的重要策略。
　　在組織本節課的教學時，我把較為枯燥的概念復習融于一道簡單習題之中，讓學生在享受解題成功感的同時，對概念的理解更為深刻。設計的典型例題，都融于學生熟悉的情境中。同樣是處理期望與方差的問題，也培養了學生分類與化歸的能力，學生的參與熱情高漲，接受的效果可想而知。同時，在每一題的處理過程中，我都會想好在什么階段用什么樣的語言甚至什么樣的語氣對學生進行鼓勵與表揚。課后聽課教師點評，都提到我與學生關系融洽。而這種良好的師生關系，與精心設置的課堂情境息息相關。好的課堂情境，可以使課堂教學變得多彩。教學效果的增強，應當也在情理之中。
　　4.課后認真分析總結，力求教學能力提升
　　結合大家的意見與自己的課后思考，對這節課的一些需要完備之處也加以總結，主要有以下幾個方面：
　　（1）教學內容的處理可進一步完善。例如在對例題處理的過程中，若能互換例2、例3的位置，先處理例3，可以先復習二項分布有關基本內容。而例2的解決，需要應用數學中化歸、分類兩大思想，難度較大，這樣處理更有層次感，也更符合學生的接受方式。
　　有老師課后指出，講解例3時，因為利用到二項分布的有關公式，不妨先與學生共同復習一下二項分布成立的條件，效果應該更佳。
　　課堂小結中，主要以學生自己總結為主，教師加以一定的引導，會起到良好的效果。但如果教師能與學生一起繼續鞏固一下本節課所用的解題思想，會有更好的作用。
　　（2）評價方式可進一步提高。在教學過程中，我在每一次的學生活動之后，都能及時對學生進行積極評價，這一點受到各位聽課老師的高度認同。但有老師指出，我對學生的成功點評恰如其分，卻對學生活動過程中解題失敗者，缺少積極、正面的鼓勵與認可。在每一堂課中，如何讓每一位學生都能充滿熱情地參與到教學中來，這就要求作為課堂的組織者，教師必須在“評價學生”的技巧與方法上加以提高與改進。只有這樣，才能調動更多學生學習的主動性，也只有這樣，課堂才能真正地融洽、和諧。
　　（3）教學基本功需進一步扎實。如我在上面提到的教學內容處理得不完全恰當，實際體現了本人理解課程標準和把握教材的基本功尚有欠缺。要想讓每一堂課變得精彩，教師就必須通過不斷的再學習，在備課、運用語言、設計板書和運用現代教育手段、教學評價、組織教學等各方面提高自己的基本功。
　　總之，通過參加課題組的聽課、上課和評課活動，通過對各類“公開課”的分析、評價和總結，我們得到了鍛煉、經歷了成長、積累了經驗、取得了收獲。相信通過努力，我們的教學課堂會變得更有效率。
　　（作者單位 何玉寶：安徽省馬鞍山市紅星中學 胡學平：安徽省馬鞍山第二十二中學）