小學數(shù)學中的幾種思想方法及應用

　　《全日制義務教育數(shù)學課程標準》在“雙基”的基礎上提出了“四基”：即基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗。那么，小學數(shù)學中有哪些基本思想呢?
　　數(shù)學思想蘊涵在數(shù)學知識的形成、發(fā)展和應用過程中，是數(shù)學知識和方法在更高層次上的抽象與概括。
　　小學數(shù)學中常見的基本數(shù)學思想方法有：轉化思想、集合思想、數(shù)形結合思想、函數(shù)思想。符號化思想、對應思想、歸納思想、模型思想、統(tǒng)計思想、極限思想等。下面談談幾種常見的思想方法及其應用。
　　一、集合的思想方法
　　集合思想就是運用集合的概念、邏輯語言、運算、圖形等來解決數(shù)學問題或非純數(shù)學問題的思想方法。在小學數(shù)學中，集合概念是通過畫集合圖的辦法來滲透的。
　　如用圓圈圖(韋恩圖)向?qū)W生直觀的滲透集合概念。讓他們感知圈內(nèi)的物體具有某種共同的屬性，可以看作一個整體，這個整體就是一個集合。利用圖形間的關系則可向?qū)W生滲透集合之間的關系，如長方形集合包含正方形集合，平行四邊形集合包含長方形集合，四邊形集合又包含平行四邊形集合等。
　　二、對應的思想方法
　　對應是人的思維對兩個集合間問題聯(lián)系的把握，是現(xiàn)代數(shù)學的一個最基本的概念。小學數(shù)學教學中主要利用虛線、實線、箭頭、計數(shù)器等圖形將元素與元素、實物與實物、數(shù)與算式、量與量聯(lián)系起來，滲透對應思想。
　　如人教版一年級上冊教材中，分別將小兔和磚頭、小豬和木頭、小白兔和蘿卜、蘋果和梨一一對應后，進行多少的比較學習，向?qū)W生滲透了事物間的對應關系，為學生解決問題提供了思想方法。
　　三、數(shù)形結合的思想方法
　　數(shù)和形是數(shù)學研究的兩個主要對象，數(shù)寓不開形，形離不開數(shù)，一方面抽象的數(shù)學概念、復雜的數(shù)量關系，借助圖形使之直觀化、形象化、簡單化；另一方而復雜的形體可以用簡單的數(shù)量關系表示。
　　“數(shù)形結合”可以借助簡單的圖形、符號和文字所做的示意圖，促進學生形象思維和抽象思維的協(xié)調(diào)發(fā)展，溝通數(shù)學知識之間的聯(lián)系，從復雜的數(shù)量關系中凸顯最本質(zhì)的特征。它是小學數(shù)學教材編排的重要原則，也是小學數(shù)學教材的一個重要特點，更是解決問--題時常用的方法。
　　例如，我們常用畫線段圖的方法來解答應用題，這是用圖形來代替數(shù)量關系的一種方法。我們又可以通過代數(shù)方法來研究幾何圖形的周長、面積、體積等，這些都體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想。
　　四、函數(shù)的思想方法
　　我們知道，運動、變化是客觀事物的本質(zhì)屬性。函數(shù)思想的可貴之處正在于它是用運動、變化的觀點去反映客觀事物數(shù)量間的相互聯(lián)系和內(nèi)在規(guī)律的。學生對函數(shù)概念的理解有一個過程。
　　函數(shù)思想在人教版一年級上冊教材中就有滲透。如讓學生觀察《20以內(nèi)進位加法表》，發(fā)現(xiàn)加數(shù)的變化引起的和的變化的規(guī)律等，都較好地滲透了函數(shù)的思想，其目的都在于幫助學生形成初步的函數(shù)概念。
　　五、極限的思想方法
　　事物是從量變到質(zhì)變的，極限方法的實質(zhì)正是通過量變的無限過程達到質(zhì)變。在講“圓的面積和周長”時，“化圓為方”“化曲為直”的極限分割思路，在觀察有限分割的基礎上想象它們的極限狀態(tài)，這樣不僅使學生掌握公式還能從曲與直的矛盾轉化中萌發(fā)了無限逼近的極限思想。
　　現(xiàn)行小學教材中還有許多處注意了極限思想的滲透。在“自然數(shù)…‘奇數(shù)”“偶數(shù)”這些概念教學時，教師可讓學生體會自然數(shù)是數(shù)不完的，奇數(shù)、偶數(shù)的個數(shù)有無限多個，讓學生初步體會“無限”思想；在循環(huán)小數(shù)這一部分內(nèi)容中，1÷3＝0．333…是一循環(huán)小數(shù)，它的小數(shù)點后面的數(shù)字是寫不完的，是無限的；在直線、射線、平行線的教學時。可讓學生體會線的兩端是可以無限延長的。
　　六、化歸的思想方法
　　化歸是解決數(shù)學問題常用的思想方法。化歸，是指將有待解決或未解決的問題，通過轉化過程，歸結為一類已經(jīng)解決或較易解決的問題，以求得解決。而數(shù)學知識聯(lián)系緊密，新知識往往是舊知識的引申和擴展。讓學生面對新知會用化歸思想方法去思考問題，對獨立獲得新知能力的提高無疑是有很大幫助的。任何數(shù)學問胚的解決過程，都是一個未知向已知轉化的過程，是一個等價轉化的過程。化歸是基本而典型的數(shù)學思想。我們實施教學時，也經(jīng)常用到它，如化生為熟、化難為易、化繁為簡、化曲為直等。
　　如：小數(shù)除法通過“商不變性質(zhì)”化歸為除數(shù)是整數(shù)的除法；異分母分數(shù)加減法化歸為同分母分數(shù)加減法；異分母分數(shù)比較大小通過“通分”化歸為同分母分數(shù)比較大小等；在教學平面圖形求積公式中，就以化歸思想、轉化思想等為理論武器，實現(xiàn)長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形和圓形的面積計算公式間的同化和順應，從而構建和完善了學生的認知結構。
　　七、歸納的思想方法
　　在研究一般性問題之前，先研究幾個簡單的、個別的、特殊的情況，從而歸納出一般的規(guī)律和性質(zhì)，這種從特殊到一般的思維方式稱為歸納思想。數(shù)學知識的發(fā)生過程就是歸納思想的應用過程。在解決數(shù)學問題時運用歸納思想，既可以由此發(fā)現(xiàn)給定問題的解題規(guī)律，又能在實踐的基礎上發(fā)現(xiàn)新的客觀規(guī)律，提出新的原理或命題。因此，歸納是探索問題、發(fā)現(xiàn)數(shù)學定理或公式的重要思想方法，也是思維過程中的一次飛躍。
　　如：在教學“三角形內(nèi)角和”時，先由直角三角形、等邊三角形算出其內(nèi)角和度數(shù)，再用猜測、操作、驗證等方法推導一般三角形的內(nèi)角和，最后歸納得出所有三角形的內(nèi)角和為180度。這就運用了歸納的思想方法。
　　八、符號化的思想方法
　　在全球信息化，科技高度發(fā)展的時代，符號思想在世界得到廣泛交流和重視。數(shù)學發(fā)展到今天，已成為一個符號化的世界。符號就是數(shù)學存在的具體化身。數(shù)學符號除了用來表述外，它也有助于思維的發(fā)展。如果說數(shù)學是思維的體操，那么，數(shù)學符號的組合譜成了“體操進行曲”。現(xiàn)行小學數(shù)學教材十分注意符號化思想的滲透。人教版教材從一年級就開始用“口”或“()”代替變量x，讓學生在其中填數(shù)。例如：l+2=口，6+()=8，7=口+口+口+口+口+口+口；再如：學校有7個球，又買來4個。現(xiàn)在有多少個?要學生填出口口=口(個)。在四年級上冊教材“角的度量”單元中，介紹角通常用符號“∠”表示；角的計量單位是“度”，用符號“°”表示。
　　九、統(tǒng)計的思想方法
　　在生產(chǎn)、生活和科學研究時，人們通常需要有目的地調(diào)查和分析一些問題，就要把收集到的一些原始數(shù)據(jù)加以歸類整理，從而推理研究對象的整體特征，這就是統(tǒng)計的思想和方法。小學數(shù)學中的統(tǒng)計圖表是一些基本的統(tǒng)計方法，求平均數(shù)應用題是體現(xiàn)出數(shù)據(jù)處理的思想方法。
　　十、數(shù)學模型思想方法
　　所謂數(shù)學模型思想是指對于現(xiàn)實世界的某一特定對象，從它特定的生活原型出發(fā)，充分運用觀察、實驗、操作、比較、分析綜合概括等所謂過程，得到簡化和假設，它是把生活中實際問題轉化為數(shù)學問題模型的一種思想方法。培養(yǎng)學生用數(shù)學的眼光認識和處理周圍事物或數(shù)學問題乃數(shù)學的最高境界，也是學生高數(shù)學素養(yǎng)所追求的目標。
　　如四年級上冊教材在引導學生探究三位數(shù)乘兩位數(shù)運算中的數(shù)量關系時，已初步凸顯模型化的數(shù)學思想方法。如第56頁第6題，“小強每天早上跑步15分鐘，他的速度大約是120米，分，小強每天大約跑步多少米?”教學時，應注重讓學生感悟速度、時間、路程之間的數(shù)量關系，經(jīng)歷將運動中的具體問題抽象成數(shù)學模型“速度×時間=路程”的全過程。讓學生在“解決具體問題一抽象數(shù)學模型一解釋并說明模型一再用模型解決問題”這樣一系列的數(shù)學活動中，充分運用觀察、比較、分析、綜合、概括，建立初步的模型思想。
　　小學數(shù)學除滲透運用了上述各數(shù)學思想方法外，還滲透運用了轉化的思想方法、假設的思想方法、比較的思想方法、分類的思想方法等。在教學中，教師既要重視數(shù)學知識、技能的教學，又要注重數(shù)學思想、方法的滲透和運用，這樣有助于學生數(shù)學素養(yǎng)的全而-提升，有助于學生的終身學習和發(fā)