三個(gè)優(yōu)美不等式猜想的證明

　　摘要：筆者利用初等數(shù)學(xué)方法證明了安振平教師提出的第1、2和15個(gè)優(yōu)美不等式問題的證明.
　　關(guān)鍵詞：優(yōu)美不等式；初等數(shù)學(xué)方法
　　
　　安振平教師在《二十六個(gè)優(yōu)美不等式》中提出了二十六個(gè)優(yōu)美的不等式問題，吸引了大家的興趣，其中第10個(gè)和第14個(gè)優(yōu)美不等式已經(jīng)分別由尚生陳和鄒生書解決了. 本文將給出第1、2和15個(gè)優(yōu)美不等式問題的證明.
　　
　　第1個(gè)優(yōu)美不等式問題
　　設(shè)a，b，c為正實(shí)數(shù)，且a≥b≥c，求證：
　　++≥a+b+c.?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖 （1）
　　證明不等式（1）等價(jià)于證明－a+－b≥c－，
　　等價(jià)于證明+≥=+.
　　因?yàn)閍≥b≥c，所以≥，≥，
　　從而≥，≥，因此+≥+=.
　　于是不等式（1）成立.
　　
　　第2個(gè)優(yōu)美不等式問題
　　設(shè)a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：
　　++≥a+b+c.?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖BBQkbvCb5I0S4wpho/7V8Q==?搖（2）
　　證明不妨設(shè)a≥b≥c，不等式（2）等價(jià)于++≥a+b+c，等價(jià)于證明++≥a+b+c，
　　等價(jià)于證明－a+－b+－c≥0，
　　等價(jià)于證明++≥0，
　　等價(jià)于證明ab（a2-b2）－+ac（a2-c2）－+bc（b2-c2）－≥0，
　　即ab+ac+bc≥0.
　　因?yàn)閍≥b≥c，，所以上式成立，因此不等式（2）成立.
　　
　　第15個(gè)優(yōu)美不等式問題
　　設(shè)a，b為正數(shù)，n為正整數(shù)，求證：
　　a+b≤a+b≤a+b. （3）
　　證明不妨設(shè)a≤b，等式（3）等價(jià)于證明兩個(gè)不等式：
　　a+b≤a+b，（4）
　　且a+b≤a+b. （5）
　　不等式（4）等價(jià)于證明a≤b.
　　又a≤b，所以=≤=，從而易得不等式（4）成立.
　　同理，不等式（5）整理得
　　a≤b
　　因?yàn)閍≤b，所以≤，從而易得不等式（5）成立.
　　綜上，不等式（3）成立.