對一個流傳很廣的選填題解答的修正

　　摘要：本文修正了一個流傳很廣的，與雙曲線、圓、相切有關的選填題的錯誤解答.
　　關鍵詞：雙曲線；圓；切線
　　題目已知過雙曲線－=1的左焦點F，且與圓x2+y2=a2相切于點T的直線與該雙曲線右支相交于P，若線段FP的中點是M，則OM－MT=________.
　　答案：b－a.
　　
　　圖1
　　解析設右焦點是F0，PF=R，PF0=r，則R－r=2a，OM=，在Rt△OTF中，因為OF=c，OT=a，所以FT=b，所以對圖1有OM－MT=－－b= －（R-r）+b=b－a.
　　原答案或者就是這樣得到的，但這一解答有失偏頗：點M一定就在T點的右側，不可能落在T點的左邊？就像圖2所示那樣.
　　對圖2，因為在Rt△OTM中，MT=b－，所以由勾股定理有2－b－2=a2，所以+b－－b+=a2，即+－b=，所以OM－MT=－b－=+－b=.
　　這兩種情況都有可能？還有其他情形嗎？
　　
　　圖3
　　如圖3，作F0Q⊥PF于Q，設QP=x，在Rt△F0QP中，由x2+（2a）2=r2，（2b+x）－r=2a?圯（a－b）x=b（b－2a）. 當a=b時，無解；
　　當a≠b時，x=，所以x>0?圳a2a.
　　至此本題的真正解是：
　　當a=b時，直線FT與雙曲線只有一個交點，與右支不相交，中點M不存在，（OM－MT）無意義；
　　當a　　當b=2a時，中點M和點T重合，OM－MT=a；
　　當b2a時，中點M在T點的左側（如圖2所示），OM－MT=.
　　練習：已知過雙曲線－=1的左焦點F，且與圓x2+y2=a2相切于點T的直線與雙曲線右支相交于P，線段FP的中點是M，若OM－MT=，試求該雙曲線離心率的取值范圍.