從對一組題的教學反思談“淡化結論與注重實質”
2011-12-29 00:00:00郭仇建
數學教學通訊·高中版 2011年9期
摘要：問題的結論實際上是問題實質的外延，是問題實質的形式化．本文通過對一道題所引起的教師間的討論，探討對問題的分析要努力揭示問題的實質，使學生理解結論逐步形成的過程，并提出數學教學要淡化結論，注重實質.
關鍵詞：淡化結論；注重實質；外延；內涵；教學根基；教學拓展
問題的提出
最近，備課組在備簡易邏輯一章時遇到了一道題，在集體備課活動中，組內同仁對此題的解答產生了分歧，于是筆者將此問題發到中學數學教學參考作者群里也得到了不同答案，究竟是什么問題，為什么連教師之間也會產生分歧呢？為了方便敘述，本文摘錄如下：
題目1：是否存在實數p，使“px+4<0”是“x2－x－2>0”成立的充分條件？如果存在，求出p的取值范圍；如果不存在，請說明理由．
本題有兩種解答方案.
解答1：
由x2－x－2>0解得x>2或x<－1．
當p=0時，4<0，無解，舍去．
當p>0時，x<，若使得“px+4<0”是“x2－x－2>0”成立的充分條件，只需≤－1，即0
所以｛p－2≤p<0或0
由x2－x－2>0解得x>2或x<－1．
當p=0時，4<0，無解，為，合題意．
余下解答過程同解法一，不再贅述，最終得結果為｛p－2≤p≤4｝.
問題的焦點
1. 中數參作者群的回應
?搖?搖問：是否存在實數p，使“px+4<0”是“x2－x－2>0”成立的充分條件？請問p=0成立否？
參與討論的教師較多，限于篇幅，僅選擇兩位具有代表性的教師的回答.
教師1答：當然成立．用集合的觀點來解釋充要條件，如果“A?哿B”，那么有 “A?圯B”成立，而空集是任何集合的子集．
教師2答：不可以．
問：為什么？
教師2答：前面無x，怎么代入使后式成立．
2． 分歧的焦點
從備課組和中數參作者群的回應來看，分歧的焦點在于“p=0時是否符合題意”，認為符合題意的群體觀點為“是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集”；認為不符合題意的群體的觀點為“當p=0時，前者中沒有符合題意的x，故而根本談不上讓“x2－x－2>0成立”．
那么這個問題的視角應該放在哪里呢？
談一談解題教學中的 “淡化結論與注重實質”
1. 此處問題的實質
無獨有偶，在本章學習中還有另外一題，筆者覺得正好與題目1的思考類似，摘錄如下，即題目2：
已知p：A=｛xa－4
?劭q：1≤x≤3，由p是?劭q的必要條件，有a－4<1，a+4>3，所以－1
這兩種解答兩位學生同時板演在黑板上時，教室里一片驚奇之聲，兩種解法感覺都對，但答案又不一樣．
那么這些問題分析的視角應該放在哪里呢？結合大家的討論，筆者以為出錯的根本原因在于我們在解題教學時多關注了一些結論，而沒有抓住問題的實質．
對于問題1，我們在解題中，僅僅關注我們在解題中常用的一個結論：“用集合觀點解釋充要條件”，而沒有理解問題的實質．
當p=0時，問題實質為：若x無解，那么x>2或x<－1，這顯然是一個假命題. 故p=0不符題意．
對于問題2，在解答2中，我們同樣犯了一個記結論的錯誤，“≥”的否定就是“<”，而在本題中對于q：B=x≥0?搖，問題實質為≥0且≥0有意義，那?劭q：<0或≥0無意義，得?劭q：1≤x≤3，則得到正解.
2. 結論是實質的外延，實質是結論的內涵
我們在解題教學中，師生從解題實踐中得到許多結論，不可否認，對我們優化解題過程，提高解題速度起到了一定的作用，對應付一些考試甚至高考有很大的幫助． 但問題的結論實際上是問題實質的外延，是問題實質的形式化．問題實質才是問題結論的內涵，若我們僅僅關注問題的一些所謂結論，而不關注問題的實質，就可能被問題的形式所蒙蔽，得出的結論并不是此問題的結論，正如上面兩問題一樣，導致解題出現錯誤．
3． 抓住實質才是教學的根基，關注結論僅僅是教學的拓展
《普通高中數學課程標準（實驗）》指出在數學教學中，學習形式化的表達是一項基本要求，但是不能只限于形式化的表達，要強調對數學本質的認識，否則會將生動活潑的數學思維活動淹沒在形式化的海洋里．假如我們在數學教學中普遍采用機械訓練的辦法，對題型進行分類，對解題的方法進行歸類，讓學生記各種各樣的結論，使學生見到什么題目就在想用什么結論去套、去解． 長此以往，學生只會覺得數學單調枯燥，進而產生厭煩心理.請問學生的思維又怎會得到有效的發展，又如何談得上數學的創新呢？筆者認為在數學教學中，要“淡化結論，注重實質”，對一些可有可無的結論不要讓學生記憶，對一些確實需要的，對學生的后續發展起了很好的基礎和保證作用的，可適度記憶. 因此，我們在實際教學中，應通過對問題的分析和學生的自主探索活動，使學生理解結論逐步形成的過程，努力揭示問題的實質；應認識到抓住問題的實質才是抓住了教學的根基，關注問題的結論僅僅是教學的一些拓展，千萬不能本末倒置.
