淺談一題多解

　　摘要：本文以一道具有幾何背景的應用題為例，談談“一題多解”在數學教學中的應用，通過一題多解的教學設計激發(fā)學生興趣，開拓學生思路，培養(yǎng)邏輯推理能力和想象力，進一步培養(yǎng)學生的數學能力. 并結合例題探討了在一題多解教學中應該遵循的一些原則.
　　關鍵詞：數學教學；一題多解；應用；思維能力
　　
　　數學具有知識的發(fā)散性、推理的嚴密性和思想的延展性. 學習數學就要求學生具有邏輯推理能力和一定的想象力.新課標指出：全面培養(yǎng)數學能力的主要途徑是培養(yǎng)學生的數學思維能力，但在實際教學過程中過多過密的解題訓練，制約學生思維能力的發(fā)展、基本技能的形成，同時使學生更加疲勞，降低學生學習數學的興趣. 一題多解既能激發(fā)學生興趣，又能開拓學生思路，是培養(yǎng)思維品質的一種教學手段. 下面將以一道幾何為背景的應用題為例，談談“一題多解”在數學教學中的應用.
　　例題：如圖1，將寬AB為6 cm的矩形紙片的左下角△BDE折起，使得頂點B落在矩形的頂邊上，記折痕的長度為l，求l的最小值.
　　
　　圖1
　　下面是筆者的三種解法.
　　解法一：設∠BDE=θ，則∠CDE=θ，BC=CD=lcosθ.
　　因為∠CAD=π－∠CDE－∠BDE=π－2θ，所以AD=CDcos（π－2θ）=－lcosθcos2θ.
　　因為AB=AD+BD=6，
　　所以－lcosθcos2θ+lcosθ=6，
　　所以l=.
　　因為0<π－2θ<，0<θ<，
　　所以<θ<.
　　令f（θ）===<θ<，
　　u=cosθ?sin2θ=cosθ?（1－cos2θ），t=cosθ，則t∈0，，u=t（1－t2）.
　　解法二：如圖2，以AB所在直線為y軸，以BE所在直線為x軸，建立直角坐標系，設D（0，y0）（00），C（m，6）（m>0）.
　　直線DE的方程為：y=－（x－t）.
　　又因為B，C關于直線DE對稱，
　　所以?－=－1，3=－t?圯t2=?搖（0　　于是l2=y+t2=y+. 令v=y0－3，v∈（0，3），則f（v）=l2=v2+9v++27，v∈（0，3）.
　　解法三：過C作CM∥AB交DE于點M，連結BM，則由題意可知CM=MB，CM⊥AC，AC為定直線，B是不在AC上的定點，由拋物線的定義可知：M點的軌跡是以AC為準線，B為焦點的拋物線弧. 折痕是拋物線的切線. 如圖3，以AB所在直線為y軸，以AB的中垂線為x軸建立直角坐標系.
　　M點的軌跡方程為x2=－12y，l是以M（x0，y0）為切點的拋物線y=－x2的切線，切線的斜率為k=－x0，直線CE：y－y0=－（x－x0）.
　　令y=－3，得x=x0+，
　　所以Ex0+，－3.
　　令x=0，得y=x+y0，
　　所以C0，x+y0；
　　CE2=x0+2+x+y0+32=x+12（y0+3）++x+y0+32
　　又因為x+12y0=0，
　　所以CE2=36－+（y0－3）2=y－9y0－+27.
　　一題多解不是課堂上簡單的羅列，它要求上課的實施者精心選題，根據學生的實際情況加以引導、穿插，使得學生積極參與、產生共鳴，才能實現意想不到的效果. 筆者結合自己上課的實際過程談談自己在這方面的一些看法.
　　一題多解必須服務于課堂的整體目標.上述例題是在高三學生一輪復習剛結束，學生對各知識段已經基本掌握，但沒有形成完整的知識體系，各知識之間的聯系未能很好建立的情況下出現的，教學的主要任務是盡快的讓學生將高中知識融為一體. 例題的三種解法囊括的高中數學的三角、解幾、導數等知識，如此與課堂目標是一致的. 如果例題是在新授課階段實施教學就有喧賓奪主之嫌，學生一時難以掌握這三種解法，為了理解不同的解法而忽視了課堂的重點，學生感受到的只有數學的壓力，無法享受數學的樂趣.
　　一題多解中，學生應該是課堂的主體. 一題多解的教學過程很容易變成教師的一言堂，學生淪落為聽眾和記錄員. 教師洋洋得意的將自己的好的解法羅列在黑板上，學生獲得的是羨慕和崇拜：“這題有這么多的解法”“我們的數學老師真厲害、聰明”，學生獲得的是懊惱和自卑：“我連一種解法都沒能想到”“數學太難了”“看來我不是學數學的料子”. 一題多解的教學應該將學生推到解決問題的前沿，教師僅是一個導演或策劃者. 以例題為例，首先了解學生題目解決的現狀. 筆者發(fā)現，絕大多數學生用的解法一，部分學生想到建立直角坐標系，有幾位學生想到教材中的折疊折痕是拋物線，但沒有辦法解決. 對于解法一，課堂的策劃是學生分組討論，由學生展現思維過程，教師歸納總結. 對于解法二，課堂的策劃是教師設計一組問題：（1）為什么要建立直角坐標系？它的優(yōu)點是什么？條件有何特征時可以考慮建系？（2）如何建系合理？已知條件如何轉化到直角坐標系中？（3）折疊對稱在解幾中的數學轉化是什么？（4）常見的求最值的方法有哪些？學生通過獨立思考基礎上的小組合作就不難解決了. 對于解法三，課堂的策劃是注重引導學生聯想、思維的擴散，強化各知識點間的聯系，讓學生感受數學的有趣的聯系.
　　在學習數學中，有很多的學生總是感覺自己的時間不夠用，數學有無窮無盡的題目；題目好像做不會，教師課堂上講的時候懂了，過兩天再去看又不會了；有的題目感覺弄懂了，只要稍微進行變式，自己又不會了. 如此學生痛苦不已，對數學產生畏懼，惡性循環(huán). 學生有如此感覺，筆者認為，其一，學生對知識掌握不到位，僅是機械的記憶，缺少深刻的理解，沒有形成知識體系；其二，學生沒有將問題進行歸納整理，疲于應付無窮無盡的題目的計算、訂正. 一題多解，就是啟發(fā)和引導學生從不同角度、不同思路，運用不同的方法和不同的運算過程，解答同一道數學問題. 如此學生不僅能解決一類問題，而且可以從不同的角度訓練其思維.
　　一題多解激發(fā)了學生的學習興趣. 一題多解的教學過程中，學生獲得了成就感. 他們的解題方法、思路、想法有機會在同學面前展現，獲得教師的認可，能清楚地意識到自己在學習中的創(chuàng)造性和自學的能力，極大增強了學好數學的信心，激發(fā)學習數學的熱情. 絕大多數學生也能積極地參與到學習過程中，而不是被動地接受，這種參與、合作構建出的解題思路同樣有一種成就感，同樣也能感受數學的樂趣.
　　一題多解強化了學生的邏輯思維.心理學研究表明，在解決問題的過程中，如果主體所涉及的不是標準的模式化的問題，那么就需要創(chuàng)造性的思維，需要解決問題的策略，而策略的獲得及證明正確的過程常常被認為是創(chuàng)造的過程或解決問題的過程. 數學問題的解題策略是指探求數學問題的答案時所采取的途徑和方法，一題多解則是眾多解題策略的綜合運用. 例題中解法一中設角，利用三角減少未知量的個數，利用函數求最值；解法二中規(guī)范圖形，建立直角坐標系，折疊聯系到解幾的對稱問題；解法三中折痕聯系到拋物線的軌跡等，這些想法、思路都在培養(yǎng)學生的思維.
　　作為教師，一定要充分認識一題多解的教學優(yōu)勢，掌握一題多解的教學技能，適時地安排一題多解的教學，以助取得良好的教學效果.