“二次函數在閉區間上的最值”的教學設計與反思

　　摘要：二次函數在閉區間上的最值一直是困擾學生的一個難點，也是教師教學的一個難點，因為在討論的過程中滲透著學生不太容易掌握的數形結合、分類討論等重要的數學思想方法. 本文主要通過具體的、詳實的教學案例展示筆者對這部分教學的處理方式，通過筆者的精心預設、師生間的精彩互動、學生的主動生成，展現了讓筆者感悟深刻的一節課.
　　關鍵詞：二次函數；最值；閉區間；對稱軸
　　
　　教學內容分析
　　本節課是高三第一輪復習課，二次函數作為高中數學函數中的重點內容，它與其他章節有著密切的聯系，為此，學生必須把二次函數問題理解得比較清晰.對于二次函數的整體內容，筆者分成了兩大節來處理. 一節是二次函數的基本知識及其運用，另一節是二次函數在閉區間上的最值問題，這是運用二次函數解決的常見問題，并且是個難點.本節課屬于第二大節，希望通過學生自己動手，在處理問題的過程中加深對二次函數閉區間上的最值問題的理解，同時感受新的學習方式帶來的學習數學的樂趣.
　　
　　學生學習情況分析
　　由于是高三第一輪復習課，學生再次接觸到二次函數的相關問題已經不太陌生. 但由于間隔時間比較長，大部分學生有所遺忘，且部分學生學習的依賴性較強，學習的信心不足，對數學存在或多或少的恐懼感. 因此，需要教師精心設計，做好準備工作，充分體現教師的“導演”角色，讓學生能在復習的過程中加深理解且增加對數學學習的興趣. 通過指導，教會學生獨立思考、大膽探索和靈活運用類比、轉化、歸納、數形結合等數學思想方法.
　　
　　設計思想
　　學生是教學的主體，本節課要給學生提供各種參與課堂的機會. 為了調動學生學習的積極性，使學生化被動為主動，本節課的教學中筆者引導學生從最基本的二次函數在已知閉區間上的最值出發，通過不斷地變動區間，從中總結出求二次函數閉區間上最值的基本解題思路，體會數形結合的必要性.在教學重、難點上，筆者步步設問、啟發學生的思維，通過課堂練習、探究活動，用討論的方式來加深理解，力求很好地突破難點和提高教學效率，讓學生在教師的引導下，充分地動手、動口、動腦，掌握學習的主動權.
　　
　　教學目標
　　1． 通過學生不斷地探究，掌握二次函數在閉區間上的最值的求解方法；
　　2． 在學習過程中滲透分類討論和數形結合的思想方法；
　　3. 培養學生的探究意識，嚴謹的思維品質以及類比、分析、歸納的能力.
　　
　　教學重點和難點
　　重點：二次函數在閉區間上最值的求解方法；
　　難點：滲透分類討論和數形結合的思想方法.
　　
　　教學過程實錄
　　1. 知識回顧、提出問題（約7分鐘）
　　筆者首先請每個學生在事先準備好的紙上將自己對二次函數的認識記錄下來. 然后筆者請幾位學生講一下他們所寫的內容. （下面附三位學生的記錄材料）
　　
　　
　　
　　設計意圖：通過學生對二次函數的自我回顧，查看學生對二次函數的印象，同時正好是對二次函數基本知識的復習整理.
　　教師：二次函數最常見的運用是什么？
　　學生1：求函數最值.
　　學生2：求區間上的最值.
　　設計意圖：由此引出課題二次函數在閉區間上的最值.
　　教師：好，那么如何求解二次函數在閉區間上的最值？大家可以討論一下.
　　學生：先看二次函數的開口方向，再看對稱軸與區間的位置關系，分對稱軸在區間左邊、中間、右邊三種情況討論.
　　教師：非常好，看來同學們對求二次函數在閉區間上的最值掌握得比較好.下面我們就具體地來操作一下.
　　2. 師生互動、加深理解（約30分鐘）
　　教師：以函數f（x）=x2－2x+2為例，我們來研究二次函數在閉區間上的最值.
　　（1）求f（x）=x2－2x+2，x∈R的最值；
　　學生：將f（x）=x2－2x+2變形為f（x）=（x－1）2+1，得對稱軸為x=1，然后畫草圖知，f（x）min=f（1）=1，無最大值.
　　教師：很好. 下面請每位同學自行給定三個閉區間，寫出相應的最值，并請大家展示他所給定的三個區間及最值.
　　學生1：區間［－1，1］；區間［1，3］；區間［1，2］；
　　由圖象可得三個閉區間上的最值分別為：?搖?搖f（x）min=f（1）=1，f（x）max=f（－1）=5；f（x）min=f（1）=1，f（x）max=f（3）=5；f（x）min=f（1）=1，f（x）max=f（2）=2.
　　原先設計：學生所給區間與對稱軸的三種位置關系都有，但學生給出的區間類型不夠.為此，筆者只能想辦法補充其他情形.
　　教師：我們一起來看看剛給出的三個區間都有什么特點.
　　學生：分別是在對稱軸的左邊和右邊.
　　教師：那如果區間包含對稱軸呢？
　　筆者再請一位學生給出一個區間.
　　學生2：要看區間端點與對稱軸的距離，如區間［－1，4］，f（x）min=f（1）=1，f（x）max=f（4）=10.
　　設計意圖：用一些比較簡單的區間來求二次函數在閉區間上的最值，為引出二次函數在動區間上的最值做準備；同時讓學生自行給出區間計算，激發學生學習的興趣和欲望.
　　教師：總結上面的幾種情形，我們發現二次函數在閉區間上總有最大值和最小值.那么，解題的關鍵是什么呢？
　　學生：畫出函數草圖，判斷對稱軸與閉區間的位置關系.
　　師：接下來，我們把區間進一步的變化，讓已知不動的區間“動起來”.
　　學生相互討論，有部分學生不知道如何讓區間“動起來”.
　　因此，進一步提問：怎樣才能讓區間“動起來”？
　　學生：讓區間端點變成變量.
　　教師：好，那么我們先動一個端點，請大家給出你自己的區間，并寫最值.
　　學生：區間［a，3］，討論對稱軸x=1與x=a的大小關系.
　　教師：分類討論后，我們只需要依據圖象“看圖說話”，寫最值即可.
　　設計意圖：針對學生對上述問題的研究，進一步地加深難度，使問題從已知閉區間到一個端點變化的動區間，激發學生探究問題的興趣；對學生進行數學思想方法（數形結合、分類討論）的滲透.
　　教師：再進一步，我們能不能讓兩個端點都“動起來”，那么最值又如何求解？比如區間［a，a+3］.
　　學生1：要分類討論對稱軸與區間的位置關系. 具體過程如下：
　　當a+3≤1，即a≤－2時，f（x）max=f（a），f（x）min=f（a+3）；
　　當a≤1　　當a>1時，f（x）min=f（a），f（x）max=f（a+3）.
　　學生2：最大值還要繼續分類討論.我有兩種分類討論方法.
　　法一：看區間端點與對稱軸的距離分類.
　　若1－a≤a+3－1，即－≤a≤1時，f（x）max=f（a+3）；
　　若1－a>a+3－1，即－2　　法二：看區間端點與區間中點a+的位置關系.
　　若a≤1≤a+，即－≤a≤1時，f（x）max=f（a+3）；
　　若a+<1≤a+3，即－2　　原先設計：學生可能說的不完整或者只說出一種分類討論的方法，筆者則進行另一種的介紹. 不料，學生講得非常到位，表達也很清楚，因此就不需要進一步地進行講解，只需適當點撥即可.
　　設計意圖：①再進一步地加深難度，在學生已有的認識基礎上，使問題從一個端點變化的動區間到兩個端點獨立變化的動區間，進一步激發學生探究問題的興趣；加深學生對數學思想方法（數形結合、分類討論）的運用；
　　
　　②讓學生闡述解題步驟，使學生有成就感，同時還可訓練其對數學問題的分析和表達能力，培養其數學素養；
　　③分類討論是一個難點，讓學生在討論中自己解決分類問題，使該難點的突破顯得自然.
　　3. 變式訓練、提升總結（約8分鐘）
　　教師：我們剛剛討論的所有問題都是已知二次函數，區間在不斷地變動，那么如果把變量轉移到二次函數上，區間已知，則最值如何求解？（教師給出題目）
　　（1）f（x）=x2－2ax+2，x∈［－2，0］.
　　學生：對稱軸x=a，區間已知，所以只要討論對稱軸在區間的左邊、右邊和包含在區間內部三種情形.
　　教師：那么對稱軸變化和區間變化兩類題之間有什么聯系？
　　學生：都只要看區間和對稱軸的位置關系.
　　設計意圖：由學生闡述解題思路即可，不進行具體的書寫.通過本題與上面內容的對比，加深理解此類問題的共同特點仍舊是通過圖象處理.
　　（2）f（x）=ax2－2ax+2（a≠0），x∈［－2，0］.
　　教師：如果變量轉移到二次項系數上，那么又如何處理？
　　學生1：還是和前面一樣.
　　教師：有沒有補充的？
　　學生2：還應該討論開口方向，再看對稱軸和區間的位置關系.
　　教師：很好，請大家課后把完整過程進行書寫整理.
　　我們回頭重新審視一下本堂課所做的這一系列的練習，看看你的解題體會是什么？ 請大家課后談談你的解題體會. （附個別學生的體會）
　　設計意圖：①再一次增