問題優化設計——數學教學的一把“金鑰匙”

　　摘要：數學教學是在不斷提出問題、解決問題的過程中展開的，問題設計的質量決定著數學課堂教學的質量. 本文從教學實例出發，針對初中數學課堂教學問題設計作了簡要的理論分析，并提出數學課堂教學中問題設計的四種優化方法，以期在今后的教學中，用問題設計這把“金鑰匙”更好地開啟學生的思維之鎖、智慧之門，促進學生思維能力的發展和學習能力的提高.
　　關鍵詞：數學教學；問題設計；優化方法
　　
　　“問題是數學的心臟.”數學新課程改革所倡導的自主、合作、探究下的“問題教學”模式都有一個基本的前提，那就是問題設計. 問題設計的質量決定著數學課堂教學的質量，直接影響著數學課堂教學的有效性和學生思維品質的提高.但是，現在有些數學課堂教學的問題設計走入了誤區：有的為了片面追求新理念，衍生課堂作秀的噱頭，穿上探究式、啟發式的漂亮外衣，把“滿堂灌”變成“滿堂問”；有的問題設計難易不當，內容空泛，缺乏思考價值；有的過于繁瑣凌亂，沒有主次輕重，缺乏針對性和有效性. 一堂課下來，表面上轟轟烈烈，實質收效甚微. 因此，有必要對問題設計進行優化，更好地調動學生學好數學的積極性和主動性，開啟學生的思維之鎖、智慧之門，促進學生思維能力的發展和學習能力的提高.
　　
　　依據課標、切合教材，使問題設計具有針對性和有效性
　　優化課堂問題設計，首先必須從認真解讀課標和教材開始. 好的問題來自于對課程標準和教材內容的深入思考、透徹領會、精心提煉和確切表達. 經過精心設計出來的問題，必然目標明確、主題鮮明、重點突出，具有較好的針對性和適度性，能夠引導學生進行有效的學習.
　　例如，在《反比例函數的圖象》問題設計前，筆者在根據課程標準吃透教材和了解學情的基礎上，將有針對性的問題整合到教學過程中，激發學生的學習興趣，調動他們的學習積極性；然后引導他們有效地探索知識的形成過程，體驗做數學的樂趣. 具體設計如下：
　　（1）我們知道一次函數的圖象是一條直線，那么反比例函數的圖象是什么？如何驗證你的猜測？
　　（2）以反比例函數y=為例，畫圖象的三個步驟是什么？列表時應注意什么？
　　（3）如何把你所描的點連結起來呢？請嘗試一下.
　　
　　圖1反比例函數的圖象是雙曲線
　　（4）點（1，6）和（-1，-6）能連起來嗎？為什么？
　　（5）很多同學把相鄰兩點之間用線段連結，這種做法對嗎？怎樣來驗證？提示：還可以找到滿足解析式的點（1.2，5）、（1.5，4），描出來看一看這兩點在連結點（1，6）和點（2，3）的線段上嗎？那么怎樣連結呢？多媒體演示畫圖的過程，并強調用平滑的曲線順次連結，及兩個分支共同組成的圖象，稱之為雙曲線.
　　（6）議一議：你認為在畫反比例函數圖象的過程中應注意哪些問題？
　　（7）試一試：y=-點圖象應在什么象限？你能畫出它的圖象嗎？
　　（8）比一比：雙曲線y=和 y=-有何共同特征？它與一次函數圖象有何不同？
　　這些問題緊緊圍繞教學目標，體現教材的重點、難點，既讓學生知道圖象是什么，又讓學生知道為什么是這樣.
　　
　　循序漸進、層層深入，使問題設計具有啟發性和層次性
　　學習心理學研究表明：學生的學習過程是一個知識間遞進的建構過程. 問題設計的目的主要在于激活學生思維，引導學生的探究活動. 問題的設計要由淺入深、由易到難、層層推進、環環相扣，逐步引導學生向思維的縱深發展，提高學生的思維品質.
　　例如，證明梯形中位線定理對學生來說有一定的難度，對此筆者是這樣處理的：
　　
　　圖2
　　（1）本題結論與哪個定理的結論比較接近？
　　（2）能否把梯形的中位線EF轉化為某個三角形的中位線呢？
　　（3）已知E是AB的中點，能否使F成為以A為端點的某條線段的中點呢？可以考慮添加怎樣的輔助線？（連結AF，并延長AF交BC的延長線于G）
　　（4）能否證明EF是△ABG的中位線？如果是，關鍵在于證明什么？
　　（5）通過什么數學工具可以證明AF=FG？
　　教師通過新舊知識的結合點來設計問題，使學生處于“心求通而不解，口欲言而不能”的憤悱狀態，達到激發學生積極地進行思維活動的目的. 這些問題環環相扣、層層展開，學生在教師的逐步啟發下解決了課堂的重點、難點，學生的思維得到了訓練.
　　
　　靈活善變、巧選角度，使問題設計具有開放性和思維性
　　“數學是思維的體操”. 數學問題設計，要在向學生展示獲取知識、形成技能及解決問題的思維過程中，使學生不斷地理解數學思想方法，掌握數學最本質屬性，形成良好思維品質. 教師在設計問題時，一定要具有開放性，讓學生從不同的角度思考、打開思維，讓學生樂于思考.
　　日常數學教學中，教師要立足教材，精選教材中典型的例題、習題，善于變式思考，對學生進行多種形式的思維訓練.通過設置一題多解，讓學生從不同的角度去思考，用不同的方法去嘗試，培養學生思維的開闊性，訓練學生思維的發散性. 通過一題多變，變化命題形態、變化圖形位置等，幫助學生透過表面現象洞察問題實質，訓練學生思維的變通性.通過一題多用，改變命題的條件和結論，對命題進行充分的挖掘和延伸，培養學生思維的互逆性，訓練學生思維的深刻性.
　　
　　動態生成、留有空間，使問題設計具有延伸性和挑戰性
　　愛因斯坦曾說過：“提出一個問題比解決一個問題更重要.” 新課程理念下的數學教學，一方面要求教師進行課前預設，另一方面要追求課堂的動態生成.問題的設計不局限于教材本身，而要結合所學知識有所拓展，超越教材提出一些與教材有一定聯系的問題.在問題設計時，或將學習引向深入，揭示其數學本質；或引發一些新的思考，留下一定的思維空間，讓數學教學達到韻味無窮的境界.
　　例如，“一個多邊形除一個內角外，其余內角的和為1 000°，問這個多邊形是幾邊形？這個內角為多少度？”講評這一道習題時，引發了學生的思考和討論.一些學生想到設這個多邊形是n邊形，這個內角度數為x，根據題意列出方程（n-2）?180°-x=1 000°（*），接下來怎么辦？經過討論后，一位學生回答：列出不等式組（n－2）×180°＞1 000°，（n－2）×180°＜1 000°+180°，筆者表揚了這位學生由方程聯想到不等式的想法，并追問他為什么. 他思考片刻說：因為這個內角0°＜x＜180°，…，接著他求出了n的取值范圍，又因為n是正整數，所以n=8，代人方程（*）可得x=80°. 他一氣呵成，教室里響起了熱烈的掌聲. 筆者順勢也把預設作了交流： x=（n-2）?180°-1 000°，0°＜x＜180°，則0°＜（n-2）?180°-1 000°＜180°.正當大家高興之時，中間發出一個聲音：“由方程（*）直接可得出n=8，x=80°.” 筆者趕緊問：“你怎么做出來的？”“猜的”. 他顯出把握不大的樣子，這時筆者順水推舟，希望學生能聯想到二元一次不定方程的正整數解.于是鼓勵他繼續，“我是把n=1、2、3、……代入方程（*）嘗試，當n=8時，恰好x也是整數.” 筆者拍案叫絕，“這個嘗試的過程，實際上就是求方程（*）的——”筆者故意拉長話氣，“正整數解.” 這時教室里又響起了熱烈的掌聲，大家把目光投向中間的那位同學. 由學生共同參與動態生成的課堂，才是最精彩的課堂.
　　問題設計是數學課堂教學設計的靈魂，問題優化設計是數學教學的一把“金鑰匙”. 只要我們在教學實踐中潛心研究、不斷實踐，就一定能把握好數學課堂問題設計這門藝術，讓數學課堂煥發新的活力.