“節外生枝” 讓數學課堂更精彩

　　摘要：本文呈現了教學實踐中的三個案例，探討在教師與學生、學生與學生的合作、對話、碰撞中岔出一些預設之外的新問題時，筆者處理這些問題做出的及時的、正確的判斷，篩選出學習活動中有利于促進學生進一步學習的信息，及時調整課前預設，使課堂的“節外生枝”演繹為精彩的“動態生成”.
　　關鍵詞：節外生枝；動態生成
　　
　　課堂教學是師生共同構建的一門動態生成的藝術，無論多么精心的預設也無法預知整個課堂的全部細節. 在教師與學生、學生與學生的合作、對話、碰撞中，往往會岔出一些教師預設方案之外的新情況、新問題，面對課堂上不期而遇的“節外生枝”， 是置之不理或在不經意間“一帶而過”，還是給出時間和空間，引導學生積極探究？筆者深深體會到：要及時作出判斷，順應學生的思維軌跡，循循善誘，把課堂的“節外生枝”演繹為精彩的“動態生成” .以下呈現的是筆者在上復習課時處理“節外生枝”的三個案例.
　　
　　可以舉個例子嗎
　　高一年級，函數奇偶性單元復習課.
　　筆者選取必修1教材55頁第8題作為例題：已知函數f（x）=a+是奇函數，求常數a的值.
　　學生1：定義域為R，f（－x）+f（x）=a++a+=a++a+=2a+1=0，故a=－.
　　學生2：若奇函數在原點有定義，則一定有f（0）=0，所以f（0）=a+=0，得a=－. 這時f（x）=－+，f（－x）+f（x）=－+－+=－1++=0，故a=－為所求的值.
　　師生共同小結：已知函數的奇偶性，求參數的值，常用的方法是：（1）從一般入手，轉化為恒成立問題；（2）從特殊出發，先求出參數，再驗證對定義域內所有值都滿足奇（偶）性. 學生2解法中的特殊值f（0）=0，僅表示函數圖象過原點，并不能說明圖象關于原點對稱.
　　教學的環節都在課前的預設之中，該題的探究已經結束. “可以舉個例子嗎？”剛平靜下來的課堂上有一位學生在自言自語，筆者捕捉到了這一細節，這是學生內心的渴求，是主體參與的結果，應該鼓勵，筆者立即叫這位學生繼續說. “對于已知奇函數，求參數的值這類問題，可以舉一個例子來說明由f（0）=0，求出的參數值，不滿足已知函數是奇函數嗎？”這個問題出乎筆者的意料，課前沒有預設到，如果舉個例子說明，應該說是恰到好處，有價值，于是筆者立即讓學生拿起筆，進行編擬.
　　學生3：設f（x）=2x+ax2+a（a－1）是定義在R上的奇函數，求a的值.
　　由f（－x）+f（x）=0，得ax2+a（a－1）=0，即a［x2+（a－1）］=0對R上的任一個x均成立，因此a=0. 但如果只考慮f（0）=0，得a=0或1，當a=1時，f（x）=x2+2x，這時f（1）=3，f（－1）=－1，f（－1）≠－f（1），不滿足f（x）是奇函數；當a=0時，f（x）=2x，滿足f（－x）= －f（x），故a=0.
　　學生4：設f（x）=（2a－1）x3+（a2－3a+2）?x2+a2－5a+4是定義在R上的奇函數，求a的值. （理由同上）
　　學生5：設f（x）=asinx+（a－1）x2+a2－3a+2是定義在R上的奇函數，求a的值.（理由同上）
　　學生振奮之余，對函數奇偶性的概念理解更深刻.
　　
　　能否利用“幾何法求解”
　　高二年級，橢圓復習課.筆者出示如下例題：
　　k為何值時，直線x－y+k=0與橢圓+y2=1有兩個交點？有一個交點？沒有交點？
　　教師：同學們，成功解題的關鍵是對題中的條件加以有效的轉化和利用，“直線與橢圓的交點個數”問題，該如何轉化呢？
　　學生（齊聲）：聯立方程組，用Δ法進行判斷.
　　通過演練，得出結果，總結出判斷“直線與橢圓交點個數”問題的常用轉化方法后，準備轉入另一問題研究. 這時一位女學生舉手發言.
　　學生1：能否利用“幾何法求解”？
　　該位女學生的一句話令筆者有些詫異. 在上周復習“直線與圓的交點個數”問題時，曾經歸納出常用的方法有代數法和幾何法，根據經驗判斷“處理直線與橢圓的交點個數”問題時一般只用代數法，難道她能用幾何法解決問題？能成功嗎？一連串的疑問，讓筆者決定繼續聽她說下去.
　　學生1：橢圓可以看作由圓上的所有點的橫坐標（或縱坐標）壓縮（或伸長）到原來的若干倍后得到的圖形，因此能否將橢圓轉化為圓來處理呢？
　　疑問是思考的產物，這一疑問中隱含著新穎觀點，學生情緒高漲，筆者也十分興奮，覺得不能舍去這珍貴的意外生成的資源，學生的想法是有道理的，繼而鼓勵學生繼續探究.
　　學生2：對于橢圓+y2=1，設x=2x1，y=y，橢圓變為圓x+y=1，這時直線變為2x1－y1+k=0，為順應習慣，把x1換成x，y1換成y，原題轉化為k為何值時，直線2x－y+k=0與圓x2+y2=1，有兩個交點？有一個交點？沒有交點？因而可轉化為“直線與圓的交點個數”問題，用幾何法去判斷，得出正確答案.
　　“了不起！”大家為這位學生的想法嘖嘖稱奇. 不料另有一位男學生插嘴.
　　學生3：老師，還有其他的幾何解法.
　　教師：繼續說下去.
　　學生3：解決“直線與橢圓交點個數”問題可轉化為求直線上的點T與兩焦點F1，F2距離之和的最小值問題. 設d=TF1+TF2，2a是橢圓長軸長，當dmin=2a時，直線與橢圓有一個交點；當dmin<2a時，直線與橢圓有兩個交點；當dmin>2a時，直線與橢圓沒有交點.
　　本題中F1－，0關于直線x－y+k=0的對稱點為F－k，－+k，則dmin=FF2==，當=4，即k=±時，直線與橢圓有一個交點……
　　全班學生鼓掌.
　　
　　只要“兩邊求導”
　　高三年級，三角函數復習課，筆者出示問題：
　　已知sinθ+2cosθ=－時，求tanθ的值.
　　學生1：sinθ+2cosθ=－，sin2θ+cos2θ=1，求得sinθ=－，cosθ=－，于是tanθ=.
　　學生2：sinθ+2cosθ=?sinθ+cosθ=sin（θ+φ），其中cosφ=，sinφ=. 當sin（θ+φ）= －1時，有θ+φ=2kπ+（k∈Z），從而θ=2kπ+－φ，于是tanθ=cotφ=.
　　學生3：解決這類問題的常規方法：消元求sinθ，cosθ；歸一（化同名函數，化一個角），利用正弦（余弦）函數的有界性求解.
　　課堂沿著筆者預設的軌道穩步推行（暗喜）. 筆者正想以表揚來結束對這個問題的探究時，卻見一個學生舉手，示意有話要說.
　　學生4：此題只要“兩邊求導”就解決了.
　　這類問題一般不用求導數的方法，學生能搞清楚嗎？這位學生的想法到底如何？“碰到問題時，一定要有念頭，哪怕是錯誤的念頭”（波利亞語），直覺暗示筆者，應該展示學生的思維過程.
　　學生4：（sinθ+2cosθ）′=cosθ－2sinθ=0，得tanθ=.
　　學生5：你怎么知道這時sinθ+2cosθ取最小值－呢？
　　學生4：檢驗就可以了，經檢驗可知，sinθ+2cosθ取最大值和最小值時，tanθ均為.
　　教師：這位同學給大家提出了一個新的思路.通過求導，求出了變量的值以后，必須檢驗，結合單調性得出結論.
　　學生6：老師，上述解法有問題.
　　本來兩邊求導的方法在課前沒有預設到，是課堂上的“節外生枝”，剛才的求導探究用時也不多，這下可有好戲看了.
　　學生6：按上求法，當sinθ+2cosθ=2時，求tanθ的值，也只要兩邊求導（sinθ+2cosθ）′=cosθ－2sinθ=0，得tanθ=. 換成sinθ+2cosθ=，結果也是一樣.
　　全班學生愕然，議論紛紛，問題出在哪里？
　　求知的欲望被深度激發.經師生共同探究，形成如下思維方法.
　　先畫出兩函數y=sinx+2cosx和y= －的圖象（如圖1），兩函數圖象交點的橫坐標即是滿足sinθ+2cosθ=－的θ的值，本題中的θ是函數y=sinx+2cosx的極小值點，該極小值點恰好使sinθ+2cosθ的導數為0，所以學生4的兩邊求導得tanθ=是正確的（真相大白）. 當sinθ+2cosθ=時，tanθ也為（與學生4的檢驗相呼應）.
　　
　　圖1
　　進一步探究可發現：已知sinθ+2cosθ=c，c∈－，，求tanθ的值.若函數y=sinθ+2cosθ與函數y=c，c∈－，的圖象（如圖2）在交點處切線的斜率為k，則有（sinθ+2cosθ）′=k，此時不能很便捷地得到答案.
　　從以上三個案例可以看出，課堂上的“節外生枝”，大都是學生主體參與的結果，它常常是學生探究的源泉，是發展學生能力的助推器.盡管“節外生枝”可能會打亂教師預定的教學步驟，甚至可能使教學內容發生變更，但它符合學生的學情，能帶動全班學生挖掘更有價值的問題，產生濃厚的學習興趣，使學生“其進自不能已”. 如果一堂課與教學設計毫無偏離，某種意義上說不能算是一節成功的課.
　　毋庸置疑，來自課堂的信息是紛雜的，教師應該根據所“生”之“枝”是否有用而作出正確判斷，篩選出學習活動中有利于促進學生進一步學習的情境，及時調整課前預設，深入挖掘. 若超出了學生的最近發展區，使學生得不到相應的研究成果，會造成教學時間的極大浪費，產生低效教學. 這一切對教師的專業化素養和教學藝術提出了更高要求，而這也正是新課改給我們提出的奮斗目標.